# Demo 1：Shor 离散对数

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**可视化**：双图（轨道+直方图） —— N=15 离散对数骨架 + QPE 相位

**对应教程**：[第 9 章 高等代数与数论量子算法 中相关小节](https://tutorial.chenzhaoyun.com/quantum-tutorial/ch09-algebra-number-theory/) · 依赖安装：`pip install "unified-quantum[visualization,simulation]"`

## 实现要点

模型: 给定 N=15 (模合数), a=2, 寻找 x 使 g = a^x mod N.
乘法群 Z_15^* 的阶 phi(15)=8; a=2 在其中的阶为 4, 因为
2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16 mod 15 = 1.
因此 x 仅在模 4 意义下唯一. Shor 算法的核心是把离散对数
归约到乘法算子 U_a |y> = |a*y mod N> 的周期查找:
|QPE 估相位 r / 2^n> -> r = 4 -> x 在轨道 [1, 2, 4, 8] 中的位置.

量子部分用 1 比特 S 门做"简化路径" eigenstate (类似 ch04 demo 1):
|1> 是 S 的本征态, 特征值 i = e^{2*pi*i/4}, 用 4-qubit 精度寄存器
跑 QPE 应集中在 phase = 1/4 (即 k=4 of 16). 该相位对应 r = 4.
然后对每个目标 g in {1, 2, 4, 8}, 由 r 与轨道位置反推 x.

## 完整源码

```{literalinclude} 01_discrete_log.py
:language: python
:linenos:
:caption: demos/ch09-algebra-number-theory/01_discrete_log.py
```

## 运行结果

![Demo 1：Shor 离散对数](01_discrete_log.png)

## 运行方式

```bash
# 仓库根目录执行；输出 PNG 到 demos/ch09-algebra-number-theory/01_discrete_log.png，关键统计到 stdout
.venv/bin/python3 demos/ch09-algebra-number-theory/01_discrete_log.py
```

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