# 第 15 章 梯度、谱方法与量子机器学习 代码演示

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到本章为止，我们已经见过了量子算法的主要"武器库"：相位估计把本征相位读成经典数字（第 3 章），振幅放大把成功概率 $p$ 的子过程加速到 $O(1/\sqrt{p})$ 次调用（第 3 章），QSP/QSVT 能对矩阵的奇异值施加任意多项式变换（第 5 章），HHL 类算法能输出线性方程组解的量子态（第 6 章）。本章要问的是一个更面向应用的问题：**这些武器能不能加速"学习"与"谱估计"类任务**——从函数、矩阵、张量或数据集中提取我们想要的量，例如梯度、行列式、主特征向量、隐藏的方向？

**3 个 demo（点击查看）**：

### 1. 01 Quantum Pca

![01_quantum_pca.png](01_quantum_pca.png)

**4×4 对称正定矩阵 A 的 3-qubit 块编码 + QPE 估前 2 特征值（max err 0.0000）**

```bash
python demos/ch15-learning-spectral/01_quantum_pca.py
```

### 2. 02 Principal Eigenvector

![02_principal_eigenvector.png](02_principal_eigenvector.png)

**经典 power iteration（10 步收敛到 λ_max=1.0）+ 量子态制备 |v₁⟩ 测量验证**

```bash
python demos/ch15-learning-spectral/02_principal_eigenvector.py
```

### 3. 03 Spectral Sums

![03_spectral_sums.png](03_spectral_sums.png)

**Tr(A^k) 量子估计算法（3-bit QPE 均匀采样 4 个特征值），经典 vs 量子对比（max err 0.057）**

```bash
python demos/ch15-learning-spectral/03_spectral_sums.py
```

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