# 量子神经网络（附录1：含参量子门与矩阵欧拉公式）

:::{admonition} 本课知识点
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1. **[指数函数的泰勒展开](#exponential-taylor-series)**——能写出 $e^x$ 的泰勒级数展开，并说明它只用到加法与乘法、因此可以原封不动地推广到矩阵。
2. **[矩阵指数的定义](#matrix-exponential-definition)**——能写出 $e^A$ 的泰勒级数定义，并说明 $e^{A+B}=e^A e^B$ 何时成立、何时失效。
3. **[矩阵欧拉公式](#matrix-euler-formula)**——能证明当 $M^2=I$ 时 $e^{i\theta M}=\cos(\theta)\,I+i\sin(\theta)\,M$，并验证三个泡利矩阵都满足前提条件。
4. **[旋转门 $R_x$ 的闭式推导](#rx-gate-derivation)**——能把矩阵欧拉公式应用到 $R_x(\phi)=e^{-i\frac{\phi}{2}X}$，写出它的 $2\times 2$ 矩阵形式。
5. **[旋转门 $R_y$ 与 $R_z$ 的闭式推导](#ry-rz-gates-derivation)**——能仿照 $R_x$ 的推导写出 $R_y(\phi)$ 与 $R_z(\phi)$ 的矩阵形式，并解释 $R_z$ 为何是对角矩阵。
6. **[旋转门的数值检验与周期性](#numerical-check-periodicity)**——能用具体角度检验矩阵欧拉公式的正确性，并计算 $R_x(2\pi)$、$R_x(4\pi)$，解释"转两圈才复原"现象的半角根源。

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## 预备知识：矩阵指数与矩阵欧拉公式

在我们正式介绍含参数的量子门之前，需要先掌握一个关键的数学工具：**矩阵指数 (Matrix Exponential)**。这听起来可能有点吓人，但它的思想其实非常直观，是我们熟悉的指数函数 $e^x$ 在矩阵世界中的自然推广。

(exponential-taylor-series)=
### 回顾：指数函数的泰勒展开

我们知道，标量指数函数 $e^x$ 可以通过泰勒级数展开：

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$

这个展开式只涉及加法和乘法，而这两种运算在矩阵中都有明确的定义，因此它可以原封不动地搬到矩阵上。

(matrix-exponential-definition)=
### 定义：矩阵指数 $e^A$

对于一个方阵 $A$，我们把矩阵指数 $e^A$ 定义为将 $A$ 代入上述泰勒级数所得到的矩阵：

$$ e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{n!} $$

其中：

- $I$ 是单位矩阵（相当于标量中的 1）；
- $A^2 = A \cdot A$，$A^3 = A \cdot A \cdot A$，等等；
- 这个级数对于任何方阵 $A$ 都是收敛的，所以 $e^A$ 总是一个定义良好的矩阵。

**重要提示**：一般来说，$e^{A+B} \neq e^A e^B$。只有当 $A$ 和 $B$ **对易 (commute)** 时，即 $AB = BA$，等号才成立。原因在于 $e^A e^B$ 的展开式中会出现形如 $AB$ 与 $BA$ 的项，只有二者相等时才能合并成 $e^{A+B}$ 中 $A+B$ 的各次幂。

### 回顾：欧拉公式 $e^{i\theta}$

我们熟悉的欧拉公式连接了指数函数和三角函数：

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) $$

这个公式也可以通过泰勒展开来证明：将 $x = i\theta$ 代入 $e^x$ 的展开式，并把实部与虚部分开整理，就分别得到 $\cos(\theta)$ 和 $\sin(\theta)$ 的泰勒展开式。

(matrix-euler-formula)=
### 推广：矩阵欧拉公式

现在，让我们把这个思想应用到矩阵上。我们特别关心形如 $e^{i\theta M}$ 的矩阵，其中 $M$ 是一个矩阵，$\theta$ 是一个标量。按定义展开：

$$ e^{i\theta M} = I + (i\theta M) + \frac{(i\theta M)^2}{2!} + \frac{(i\theta M)^3}{3!} + \dots $$
$$ = I + i\theta M - \frac{\theta^2 M^2}{2!} - i\frac{\theta^3 M^3}{3!} + \dots $$

第二个等号用到 $(i\theta M)^2 = i^2\theta^2 M^2 = -\theta^2 M^2$ 和 $(i\theta M)^3 = i^3\theta^3 M^3 = -i\theta^3 M^3$。

**一个非常特殊且有用的情况：当 $M^2 = I$ 时。**

如果一个矩阵 $M$ 的平方是单位矩阵 $I$，那么上面的展开会变得异常简洁。三个泡利矩阵都满足这个性质：

$$ X^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I, \qquad Y^2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} (-i)(i) & 0 \\ 0 & (i)(-i) \end{pmatrix} = I, \qquad Z^2 = I, $$

其中 $Y^2$ 的对角元用了 $(-i)(i) = -i^2 = 1$。由 $M^2 = I$ 出发可以归纳出幂次的规律：

- $M^3 = M^2 \cdot M = I \cdot M = M$
- $M^4 = M^2 \cdot M^2 = I \cdot I = I$
- 一般地，奇数次幂等于 $M$，偶数次幂等于 $I$。

现在我们重新整理 $e^{i\theta M}$ 的展开式，把含有 $I$ 的项和含有 $M$ 的项分开：

$$ e^{i\theta M} = \left( I - \frac{\theta^2}{2!}I + \frac{\theta^4}{4!}I - \dots \right) + i \left( \theta M - \frac{\theta^3}{3!}M + \frac{\theta^5}{5!}M - \dots \right) $$

把公共的 $I$ 和 $M$ 提取出来：

$$ = I \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots \right) + iM \left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \dots \right) $$

我们会发现，括号里的两部分正是 $\cos(\theta)$ 和 $\sin(\theta)$ 的泰勒展开式！因此，我们得到了一个极其重要的**矩阵欧拉公式**：

> **如果 $M^2 = I$，那么 $e^{i\theta M} = \cos(\theta)\,I + i\sin(\theta)\,M$**

(rx-gate-derivation)=
## 学以致用：推导旋转门 $R_x(\theta)$

含参数的旋转门正是通过矩阵指数定义的。例如，绕 X 轴的旋转门 $R_x(\phi)$ 定义为：

$$ R_x(\phi) = e^{-i\frac{\phi}{2}X} $$

这里的 $M$ 就是泡利矩阵 $X$，而 $\theta$ 对应于 $-\frac{\phi}{2}$。因为 $X^2 = I$，我们可以直接应用刚刚推导出的矩阵欧拉公式：

$$ R_x(\phi) = \cos\left(-\frac{\phi}{2}\right) I + i\sin\left(-\frac{\phi}{2}\right) X $$

再利用 $\cos(-x) = \cos(x)$ 和 $\sin(-x) = -\sin(x)$，得到

$$ R_x(\phi) = \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) I - i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) X $$

现在，把 $I$ 和 $X$ 的矩阵形式代入：

$$ R_x(\phi) = \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) & 0 \\ 0 & \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) & 0 \end{pmatrix} $$
$$ = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) & -i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ -i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) & \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) \end{pmatrix} $$

这正是我们在正文 2.1 节看到的 $R_x$ 门的矩阵形式。

(ry-rz-gates-derivation)=
## 举一反三：推导 $R_y(\phi)$ 与 $R_z(\phi)$

$R_y$ 和 $R_z$ 的推导与 $R_x$ 完全平行，我们把它们完整地写出来。

**$R_y$ 的推导。** 由定义 $R_y(\phi) = e^{-i\frac{\phi}{2}Y}$，且 $Y^2 = I$，矩阵欧拉公式给出

$$ R_y(\phi) = \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) I - i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) Y. $$

计算第二项中的矩阵乘积 $-iY$（标量 $-i$ 乘以矩阵的每个元素）：

$$ -iY = -i\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (-i)(-i) \\ (-i)(i) & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, $$

其中用到 $(-i)(-i) = i^2 = -1$ 和 $(-i)(i) = -i^2 = 1$。因此

$$ R_y(\phi) = \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) & -\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \\ \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) & \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) \end{pmatrix}. $$

**$R_z$ 的推导。** 由定义 $R_z(\phi) = e^{-i\frac{\phi}{2}Z}$，且 $Z^2 = I$，矩阵欧拉公式给出

$$ R_z(\phi) = \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) I - i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) Z. $$

由于 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 是对角矩阵，两项相加仍是对角矩阵：

$$ R_z(\phi) = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) - i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) & 0 \\ 0 & \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-i\phi/2} & 0 \\ 0 & e^{i\phi/2} \end{pmatrix}, $$

最后一步用了复数的欧拉公式 $e^{\pm ix} = \cos x \pm i\sin x$。

(numerical-check-periodicity)=
## 数值检验与两个有用的推论

我们可以用一个具体的角度来检验矩阵欧拉公式的正确性。取 $M = X$、$\theta = \frac{\pi}{2}$：

$$ e^{i\frac{\pi}{2}X} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) I + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)X = 0 \cdot I + i \cdot X = iX. $$

这个结果可以用另一条路径交叉验证。一方面，直接平方：

$$ (iX)^2 = i^2 X^2 = -I; $$

另一方面，由于同一个矩阵的指数总是对易的，$e^{A}e^{A} = e^{2A}$，故

$$ e^{i\frac{\pi}{2}X}\, e^{i\frac{\pi}{2}X} = e^{i\pi X} = \cos(\pi) I + i\sin(\pi) X = -I. $$

两条路径给出相同的答案，公式自洽。

矩阵欧拉公式还立刻给出旋转门的一个著名性质：**量子比特要"转两圈"才回到原处**。把 $\phi = 2\pi$ 代入 $R_x$ 的闭式表达式：

$$ R_x(2\pi) = \cos(\pi) I - i\sin(\pi) X = -I \neq I, \qquad R_x(4\pi) = \cos(2\pi) I - i\sin(2\pi) X = I. $$

也就是说，把量子比特绕任意轴旋转 $2\pi$，得到的不是原来的态而是它的全局相位取反；只有旋转 $4\pi$ 才严格复原。这个区别于经典比特的标志性现象，其根源正是矩阵欧拉公式中出现的半角 $\frac{\theta}{2}$。

**小结：**

- 矩阵指数 $e^A$ 是指数函数在矩阵上的推广，由与标量情形完全相同的泰勒级数定义。
- 当生成元矩阵 $M$ 满足 $M^2 = I$ 时，矩阵欧拉公式 $e^{i\theta M} = \cos(\theta)I + i\sin(\theta)M$ 成立，它把无穷级数压缩成两项。
- 我们即将学习的**含参数旋转门，其定义源于矩阵指数，其矩阵形式源于矩阵欧拉公式**。这个工具是连接抽象定义和具体矩阵计算的桥梁。

## 练习题

**练习 1【指数函数的泰勒展开】**（→ [回顾：指数函数的泰勒展开](#exponential-taylor-series)）

1. 写出 $e^x$ 的泰勒级数展开（前四项加通项），并指出级数中只出现了哪两种在矩阵世界里同样有定义的运算。
2. 把 $x = i\theta$ 代入泰勒展开，将各项按 $n$ 的奇偶性分成两组，分别整理出 $\cos(\theta)$ 与 $\sin(\theta)$ 的泰勒展开式，从而证明欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$。

> 提示：利用 $i^{2k} = (-1)^k$ 与 $i^{2k+1} = (-1)^k\,i$ 区分实部与虚部。

**练习 2【矩阵指数的定义】**（→ [定义：矩阵指数 $e^A$](#matrix-exponential-definition)）

1. 写出 $e^A$ 的泰勒级数定义；设 $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，先算出 $A^2$，再把 $e^A$ 化简成只含两项的闭式。
2. 把 $e^A e^B$ 与 $e^{A+B}$ 分别展开到二阶项，证明二者之差中的二阶部分恰为 $\frac{1}{2}(AB - BA)$，并据此说明对易条件 $AB = BA$ 为何必不可少。

> 提示：两个级数逐项相乘后，按矩阵因子的总个数（阶数）归并各项。

**练习 3【矩阵欧拉公式】**（→ [推广：矩阵欧拉公式](#matrix-euler-formula)）

1. 写出 $Z$ 的矩阵形式并完整计算 $Z^2$；然后写出 $M^2 = I$ 时的矩阵欧拉公式。
2. 用归纳法证明：若 $M^2 = I$，则 $M^{2k} = I$、$M^{2k+1} = M$（$k = 0, 1, 2, \dots$），并据此把 $e^{i\theta M}$ 的级数重排成 $I$ 的倍数与 $M$ 的倍数两组，重走矩阵欧拉公式的推导。

> 提示：两组括号内的系数恰好分别是 $\cos(\theta)$ 与 $\sin(\theta)$ 的泰勒展开。

**练习 4【旋转门 $R_x$ 的闭式推导】**（→ [学以致用：推导旋转门 $R_x(\theta)$](#rx-gate-derivation)）

1. 从定义 $R_x(\phi) = e^{-i\frac{\phi}{2}X}$ 出发写出 $R_x(\phi)$ 的矩阵形式，并代入 $\phi = \pi$ 给出 $R_x(\pi)$。
2. 计算 $R_x\!\left(\frac{\pi}{2}\right)|0\rangle$，写出结果态以及测得 $|0\rangle$、$|1\rangle$ 的概率，并说明概率公式中出现的是半角 $\frac{\phi}{2}$ 的三角函数。

> 提示：矩阵作用在 $|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 上，只需读出它的第一列。

**练习 5【旋转门 $R_y$ 与 $R_z$ 的闭式推导】**（→ [举一反三：推导 $R_y(\phi)$ 与 $R_z(\phi)$](#ry-rz-gates-derivation)）

1. 分别代入 $\phi = \pi$，写出 $R_y(\pi)$ 与 $R_z(\pi)$ 的矩阵形式。
2. 计算 $R_x\!\left(\frac{\pi}{2}\right)|0\rangle$ 与 $R_y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)|0\rangle$，比较两个结果态：测得 $|0\rangle$、$|1\rangle$ 的概率是否相同？$|1\rangle$ 分量的相位有何不同？

> 提示：一个结果态的分量全为实数，另一个的 $|1\rangle$ 分量带有因子 $-i$。

**练习 6【旋转门的数值检验与周期性】**（→ [数值检验与两个有用的推论](#numerical-check-periodicity)）

1. 用矩阵欧拉公式计算 $e^{i\frac{\pi}{2}Z}$，再用 $e^{A}e^{A} = e^{2A}$ 计算它的平方，检验两条路径给出同一结果。
2. 计算 $R_z(2\pi)$ 与 $R_z(4\pi)$，验证"转 $2\pi$ 得 $-I$、转 $4\pi$ 复原"对绕 Z 轴的旋转同样成立，并指出这一现象源于闭式公式中的哪个因子。

> 提示：$R_z(\phi)$ 的对角元为 $e^{\mp i\phi/2}$，分别代入 $\phi = 2\pi$ 与 $\phi = 4\pi$。