- 本课公式清单（编号排列）：
- ① 复杂度：数域筛 $O(\exp((64/9)^{1/3}\cdot(\log N)^{1/3}\cdot(\log\log N)^{2/3}))$ vs Shor $O((\log N)^3)$
- ② 阶与因子：$a^r \equiv 1 \pmod{N}$；$r$ 偶 且 $a^{r/2} \not\equiv -1$ → $\gcd(a^{r/2} \mp 1, N)$ 非平凡
- ③ 坍缩态：$|\varphi\rangle = (1/\sqrt{M})\cdot\sum|x_0+kr\rangle$，$M \approx Q/r$，$Q = 2^n \ge N^2$
- ④ 振幅：$|\sum e^{2\pi ik\Delta}| = |\sin(\pi M\Delta)/\sin(\pi\Delta)|$，$\Delta = jr/Q$
- ⑤ 峰与概率：$j_c \approx cQ/r$；$P(j_c) \gtrsim 4/(\pi^2 r)$；$r$ 峰合计 $\approx 4/\pi^2 \approx 0.40$
- ⑥ 精度链：$|j_c/Q - c/r| \le 1/(2Q) \le 1/(2N^2) < 1/(2r^2)$
- ⑦ Legendre：$|\alpha - p/q| < 1/(2q^2) \Rightarrow p/q$ 为渐近分数；$r' = r/\gcd(c, r)$
- ⑧ 失败率：$r = \mathrm{lcm}(r_p, r_q)$；$P_{\text{失败}} \le 1/2$（等号 $p \equiv q \equiv 3 \bmod 4$）
- ⑨ 电路：$a^{2^k} \equiv 1 \iff r \mid 2^k$
- 作业卡（真实题）：必做 练习 8 第 1 题（独立分解 15 全流程演算）、练习 2 第 1 题（求 $N = 21$、$a = 2$ 的阶）；选做 练习 5 第 2 题（$Q = 256$ 峰位与概率演算）、练习 6 第 1 题（$j = 128$ 连分数实操）；进阶挑战 练习 1 第 2 题（复杂度估算 $8.6\times 10^9$ vs $10^{308}$）、练习 4 第 2 题（$N = 21$ 枚举对照失败概率公式）
类型summary-homework（公式清单 + 作业）