第 21 课 · HHL 与量子线性求解器——从相位估计到 QSVT 的五代演进 · 模块四：应用与前沿专题

小结、作业与预告

  • 本课公式清单（编号列出）：
    1. $\kappa = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$（条件数）
    2. $A^{-1}|b\rangle = \sum_j (\beta_j/\lambda_j)|u_j\rangle$（谱分解下的求逆）
    3. $\phi_j = \lambda_j\cdot t/2\pi$，$t \le 2\pi/\lambda_{\max}$（相位设计）
    4. $|c_y| = |\sin(\pi\cdot2^m\cdot\delta)|/(2^m\cdot|\sin(\pi\delta)|)$ $\Rightarrow$ 成功概率 $\ge 4/\pi^2 \approx 0.405$（QPE）
    5. $\theta_j = 2\cdot\arcsin(C/\tilde{\lambda}_j)$，$C \le \lambda_{\min}$（受控旋转）
    6. $P_1 \ge 1/\kappa^2$；$r = \lceil\kappa^2\cdot\ln(1/\delta)\rceil$（后选择与重复）
    7. $m = O(\log(\kappa^2/\varepsilon))$；总门数 $\tilde{O}(s\cdot\kappa^3/\varepsilon)$ → 振幅放大 $\tilde{O}(s\cdot\kappa^2/\varepsilon)$（HHL 开销）
    8. $d = O(\kappa\cdot\log(\kappa/\varepsilon))$；$\cos\theta_j = \sigma_j/\alpha$、$\kappa' = \alpha/\sigma_{\min}$（CKS / QSVT）
    9. $L(\theta) \ge 0$（VQLS，Cauchy–Schwarz）；收缩因子 $(\kappa^2-1)/(\kappa^2+1)$（梯度下降）
  • 自查一行（箭头链）：五步态链 → 旋转角与 $C \le \lambda_{\min}$ → $P_1 \ge 1/\kappa^2$ 与 $r$ → $2\times2$ 实例 $5/8$ → 各代 $\kappa$ 与 $\varepsilon$ 依赖 → 输入/输出 $O(N)$
  • 作业卡：HHL 篇练习 1、6、8；线性求解器篇练习 2、8（两篇教材页尾练习区；其中练习 6、8 为数值演算题）
  • 预告：第 22 课——量子 ODE/PDE 求解器；微分方程离散化后的引擎正是今天的线性求解器
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