第 28 课 · 前沿研讨——非交换 HSP、碰撞问题、Welded Tree 与量子密码分析 · 模块四：应用与前沿专题

小结与作业

  • 主信息：本课公式清单（10 条编号）+ 四张教材页的课后练习
  • 公式清单（编号卡）：
    1. HSP 承诺与陪集态：$f(x) = f(y) \iff xH = yH$；$|gH\rangle = (1/\sqrt{|H|}) \sum_{h \in H}|gh\rangle$；$\rho_H = (1/[G:H]) \sum|gH\rangle\langle gH|$
    2. 弱采样：$p(\sigma) = (d_\sigma|H|/|G|) \cdot \mathrm{rank}\,\Pi_H^\sigma$，$\Pi_H^\sigma = (1/|H|) \sum_{h \in H}\sigma(h)$（$S_3$ 例：$1/3$、$0$、$2/3$）
    3. 相位量子比特与筛法：$|\psi_k\rangle = (|0\rangle + \omega_N^{ks}|1\rangle)/\sqrt{2}$；标签加减 $k \pm \ell$；$\exp(O(\sqrt{\log N}))$
    4. 生日界：$P_{\mathrm{no}} \approx e^{-r(r-1)/2N}$
    5. BHT：$Q(r) = r + \sqrt{N/r}$ → $r = N^{1/3}$（$N = 10^6$：合计 200 次）
    6. Johnson 行走：$\epsilon = r(r-1)/(N(N-1))$、$\delta = N/(r(N-r))$；$Q(r) = r + N/\sqrt{r}$ → $r = N^{2/3}$（$N = 10^6$：$\approx 2 \times 10^4$ 次）
    7. 列压缩：$N = 2^{n+2} - 2$；$\langle j+1|A|j\rangle = |E|/\sqrt{(|C_j||C_{j+1}|)}$（树内 $\sqrt{2}$、焊缝 2）；$E_m = 2g \cdot \cos k_m$、$|v| \le 2g$
    8. Shor 后处理：$a^r - 1 = (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv 0 \pmod{N}$ + 两条检查 + 两次 gcd
    9. Grover 与 hash 碰撞：$(\pi/4) \cdot 2^{\kappa/2}$；$T(r) = r + \sqrt{2^n/r}$ → $r = 2^{n/3}$
    10. Simon Q2：$F(x \oplus k_1) = F(x)$；$y \cdot k_1 = 0$；$k_2 = E(x) \oplus P(x \oplus k_1)$
  • 自查卡（每篇一问）：$p(\sigma)$ 为何与陪集代表元 $g$ 无关、盲区在哪 / 两个指数分别来自哪两次平衡 / 列压缩为何合法、耦合为何 $\Theta(1)$ / 三类攻击的模型与量级各差在哪
  • 作业必做：《非 Abel 隐藏子群》练习 7 第 1 题（$N=8$、$s=5$、$k=2$ 相位量子比特手算——与第 6 页呼应）；《碰撞与元素唯一性》练习 3 第 2 题（平衡出 $r = N^{1/3}$）；《Welded Tree》练习 5 第 1 题（$n=2$ 逐跳耦合与 $6 \times 6$ 矩阵——与第 11 页呼应）；《量子密码分析》练习 3 第 2 题（$N=15$、$a=2$ 手算 Shor 后处理）
  • 作业加练：《非 Abel 隐藏子群》练习 8 第 2 题（逐条反驳"格密码已被攻破"）；《碰撞与元素唯一性》练习 5 第 2 题（$\epsilon$ 精确计数）；《Welded Tree》练习 1 第 1 题（$n=3$ 列大小与 $N$）；《量子密码分析》练习 6 第 3 题（BHT 换 $r = 2^{n/4}$ 重做平衡）
类型summary-homework（公式清单）