第 1 课 · 量子化的世界 · 模块一：基础与工具

形式化：$\mathbb{C}^2$、内积与范数（讲义 §10）

命题框：$|0\rangle=(1,0)^{T}$、$|1\rangle=(0,1)^{T}$、$|\psi\rangle=(\alpha,\beta)^{T}$，$\|\psi\|=1$
三个演算：内积定义；范数 $(1/\sqrt{2},\, i/\sqrt{2})^{T}$ → $1$ ✓；正交 $\langle 0|1\rangle=0$
结果框：$\text{范数}^2=\text{总概率}$；内积 $=0$ ⟺ 完全可区分；内积是下课测量理论的核心工具

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讲义

第 13/15 页 · 形式化：$\mathbb{C}^2$、内积与范数（讲义 §10）

量子比特的状态空间是复二维空间 $\mathbb{C}^2$。取标准正交基 $|0\rangle = (1,0)^{T}$、$|1\rangle = (0,1)^{T}$，一般状态为 $|\psi\rangle = (\alpha,\beta)^{T}$，归一化条件说的就是这个矢量长度为一，即 $\|\psi\| = 1$。内积定义为 $\langle\phi|\psi\rangle = \gamma^*\alpha+\delta^*\beta$：对应分量先取共轭、再相乘、最后求和。三个演算：范数 $\langle\psi|\psi\rangle = |1/\sqrt{2}|^2+|i/\sqrt{2}|^2 = 1/2+1/2 = 1$，虚数分量的模方同样是实数，归一化成立；正交 $\langle 0|1\rangle = 0$，内积为零意味着两个态在测量上完全可区分；内积的定义本身需要牢记，它是测量理论的核心工具。