小结与作业（公式清单）

• 本课公式清单（编号 1–9）：

1. ⟨ψ| = (|ψ⟩)†（先共轭、再转置）

2. ⟨φ|ψ⟩ = γα + δβ（行乘列，结果是复标量）

3. ⟨ψ|ψ⟩ = |α|² + |β|² = ‖|ψ⟩‖²；合法态 = 1

4. ⟨0|1⟩ = 0、⟨0|0⟩ = ⟨1|1⟩ = 1（标准正交基两条件）

5. U†U = UU† = I ⟹ U⁻¹ = U†（逆 = 共轭转置）

6. ⟨ψ′|ψ′⟩ = ⟨ψ|U†U|ψ⟩ = ⟨ψ|ψ⟩（保范数两行证明）

7. ⟨Uφ|Uψ⟩ = ⟨φ|ψ⟩（保任意内积）

8. |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ}sin(θ/2)|1⟩（布洛赫参数化）

9. 球面点 (sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)；自由度 4 − 1 − 1 = 2

• 自查三问（一行一个）：左矢怎么由右矢得到 / 保范数两行证明怎么写 / θ 与 φ 各管什么
• 作业卡：练习 5 第 1 题（写 ⟨ψ| 并算 ⟨ψ|ψ⟩——本课现场演算过的态）；练习 5 第 2 题（⟨+|−⟩ 与 ⟨0|+⟩）；练习 6 第 2 题（保内积 ⟨Uφ|Uψ⟩ = ⟨φ|ψ⟩ 证明）；练习 7 第 2 题（θ = π/2、φ = 0 的换算 + 概率 + 球面坐标）；特别推荐（AMBER）：练习 5 第 1 题、练习 7 第 2 题