第 2 课 · 希尔伯特空间的语言——狄拉克符号、内积、幺正演化与布洛赫球 · 模块一：基础与工具

小结与作业（公式清单）

  • 本课公式清单（编号 1–9）：
    1. $\langle\psi| = (|\psi\rangle)^\dagger$（先共轭、再转置）
    2. $\langle\phi|\psi\rangle = \gamma^*\alpha + \delta^*\beta$（行乘列，结果是复标量）
    3. $\langle\psi|\psi\rangle = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = \lVert|\psi\rangle\rVert^2$；合法态 = 1
    4. $\langle 0|1\rangle = 0$、$\langle 0|0\rangle = \langle 1|1\rangle = 1$（标准正交基两条件）
    5. $U^\dagger U = UU^\dagger = I \Rightarrow U^{-1} = U^\dagger$（逆 = 共轭转置）
    6. $\langle\psi'|\psi'\rangle = \langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle = \langle\psi|\psi\rangle$（保范数两行证明）
    7. $\langle U\phi|U\psi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle$（保任意内积）
    8. $|\psi\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle + e^{i\phi}\sin(\theta/2)|1\rangle$（布洛赫参数化）
    9. 球面点 $(\sin\theta\cos\phi,\, \sin\theta\sin\phi,\, \cos\theta)$；自由度 $4 - 1 - 1 = 2$
  • 自查三问（一行一个）：左矢怎么由右矢得到 / 保范数两行证明怎么写 / $\theta$ 与 $\phi$ 各管什么
  • 作业卡：练习 5 第 1 题（写 $\langle\psi|$ 并算 $\langle\psi|\psi\rangle$——本课现场演算过的态）；练习 5 第 2 题（$\langle +|-\rangle$ 与 $\langle 0|+\rangle$）；练习 6 第 2 题（保内积 $\langle U\phi|U\psi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle$ 证明）；练习 7 第 2 题（$\theta = \pi/2$、$\phi = 0$ 的换算 + 概率 + 球面坐标）；特别推荐（AMBER）：练习 5 第 1 题、练习 7 第 2 题
类型summary-homework（公式清单 + 作业）