第 4 课 · 量子比特、张量积、纠缠与通用门集 · 模块一：基础与工具

本课知识点（数学目标版）

内容（六张目标卡，动词全部落到"算/证/推"）：
1. 量子比特与布洛赫参数化——能由 $\theta$、$\phi$ 写出单比特态，并代入数值算出 $P(0) = \cos^2(\theta/2)$、$P(1) = \sin^2(\theta/2)$
2. 多比特态与张量积——能把 $|0\rangle\otimes|1\rangle$ 逐分量算成四维列向量，并推导 $n$ 比特 → $2^n$ 维的指数增长
3. 贝尔态与纠缠的不可分割性——能用反证法从 $ac = 1/\sqrt{2}$、$ad = 0$、$bc = 0$、$bd = 1/\sqrt{2}$ 推出矛盾
4. 单比特量子门——能用矩阵—矢量乘法算出 X、Z、H 对基态的作用，并逐元素验证 $H^2 = I$
5. CNOT 与纠缠的制备——能从 $|00\rangle$ 出发，经 $H\otimes I$ 与 CNOT 两步推出 $|\Phi^+\rangle$ 并写出每步中间态
6. 通用门集定理——能按序写出归约链各步公式：ZYZ 分解 → 两级矩阵 → 受控门 → Gray 码

类型objectives

讲义

第 2/15 页 · 本课知识点（数学目标版）

本课六个知识点全部以"能算、能证、能推"为验收标准：

量子比特与布洛赫参数化：由 $\theta$、$\phi$ 写出单比特态，并代入数值算出 $P(0) = \cos^2(\theta/2)$、$P(1) = \sin^2(\theta/2)$。
多比特态与张量积：把 $|0\rangle\otimes|1\rangle$ 逐分量算成四维列向量，并推导 $n$ 比特对应 $2^n$ 维的指数增长。
贝尔态与纠缠的不可分割性：用反证法从 $ac = 1/\sqrt{2}$、$ad = 0$、$bc = 0$、$bd = 1/\sqrt{2}$ 推出矛盾。
单比特量子门：用矩阵—矢量乘法算出 X、Z、H 对基态的作用，并逐元素验证 $H^2 = I$。
CNOT 与纠缠的制备：从 $|00\rangle$ 出发，经 $H\otimes I$ 与 CNOT 两步推出 $|\Phi^+\rangle$，写出每步中间态。
通用门集定理：按序写出归约链各步公式——ZYZ 分解、两级矩阵、受控门、Gray 码。