第 8 课 · 第一个量子算法——Deutsch-Jozsa 与 Bernstein-Vazirani · 模块二：算法主线

本课知识点（数学目标版）

内容（六张目标卡，动词全部落到"推导/计算"）：
1. 问题设定与承诺——能用量词写出常数/平衡函数的定义，并对给定 $n$ 数出两类函数在输入上的计数
2. 经典查询复杂度——能推出确定性最坏 $2^{n-1}+1$ 次、随机 $k$ 次错误率 $\le 2^{-k}$，并代入 $n$、$k$ 算出数值
3. 量子预言机——能写出 $U_f|x\rangle|y\rangle = |x\rangle|y\oplus f(x)\rangle$，由 $U_f\cdot U_f = I$ 推出酉性并逐基矢验算
4. 相位回踢与四步推导——能逐行推出 $U_f|x\rangle|-\rangle = (-1)^{f(x)}|x\rangle|-\rangle$，并证明恒等式 $H^{\otimes n}|x\rangle = (1/\sqrt{2^n})\cdot\sum_z (-1)^{x\cdot z}|z\rangle$
5. 振幅分析与干涉——能推导 $A(0\ldots 0) = (1/2^n)\cdot\sum_x (-1)^{f(x)}$，复算 $n=2$ 的全部振幅并写出判定规则
6. Bernstein-Vazirani——能用正交和等式证明 1 次查询读出 $s$，并复算 $n=3$、$s=101$ 全流程

类型objectives

讲义

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本课六项目标全部落在推导与计算上：

用量词写出常数/平衡函数的定义，并对给定 $n$ 数出两类函数在输入上的计数；
推出确定性最坏 $2^{n-1}+1$ 次、随机 $k$ 次错误率 $\le 2^{-k}$，并代入 $n$、$k$ 算出数值；
写出 $U_f|x\rangle|y\rangle = |x\rangle|y\oplus f(x)\rangle$，由 $U_f\cdot U_f = I$ 推出酉性并逐基矢验算；
逐行推出相位回踢 $U_f|x\rangle|-\rangle = (-1)^{f(x)}|x\rangle|-\rangle$，并证明恒等式 $H^{\otimes n}|x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_z (-1)^{x\cdot z}|z\rangle$；
推导 $A(0\ldots 0) = \frac{1}{2^n}\sum_x (-1)^{f(x)}$，复算 $n=2$ 的全部振幅并写出判定规则；
用正交和等式证明 Bernstein-Vazirani 1 次查询读出 $s$，并复算 $n=3$、$s=101$ 全流程。