第 9 课 · 量子傅里叶变换 · 模块二：算法主线

本课知识点（数学目标版）

内容（五张目标卡，动词全部落到"算"）：
1. QFT 的定义与 DFT 的关系——能写出 $\mathrm{QFT}_N|j\rangle = (1/\sqrt{N})\cdot\sum_k e^{2\pi i\cdot jk/N}|k\rangle$，验证 $n=1$ 时 $\mathrm{QFT}_2 = H$，并用等比级数证明 $\mathrm{QFT}_N$ 的酉性
2. QFT 的张量积形式——能写出输出态的逐比特 $\otimes$ 分解，演算第 $\ell$ 个输出比特的相位 $2\pi\cdot 0.j_\ell j_{\ell+1}\cdots j_n$ 由 $j$ 的哪些位决定
3. QFT 线路实现与复杂度——能用 H、受控相位门 $R_m$ 与 SWAP 搭出 $O(n^2)$ 线路，代入 $n=3$ 数出门数并与经典 FFT 的 $O(n\cdot 2^n)$ 比较门数
4. 比特倒序与手算走查——能对 $n=2$ 分别按定义式与张量积公式算出 $\mathrm{QFT}_4|01\rangle$ 的全部振幅，解释线路末端 SWAP 的原因
5. QFT 的能力边界与正确用法——能用 $P(k) = |\hat{a}_k|^2/N$ 与两道 $O(N)$ 代价解释读出/输入障碍，并写出相位梯度恒等式 $\mathrm{QFT}_N[(1/\sqrt{N})\cdot\sum_j e^{-2\pi i\cdot js/N}|j\rangle] = |s\rangle$

类型objectives

讲义

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本课的五项学习目标，动作全部落在"能算"上：

写出 $\mathrm{QFT}_N|j\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{2\pi i\cdot jk/N}|k\rangle$，说明它与经典 DFT 只差归一化因子，验证 $n=1$ 时 $\mathrm{QFT}_2 = H$，并用等比级数证明酉性
写出输出态的逐比特 $\otimes$ 分解，演算第 $\ell$ 个输出比特的相位 $2\pi\cdot 0.j_\ell j_{\ell+1}\cdots j_n$ 由 $j$ 的哪些位决定
用 H、受控相位门 $R_m$ 与 SWAP 搭出 $O(n^2)$ 线路，代入 $n=3$ 数出门数并与经典 FFT 的 $O(n\cdot 2^n)$ 对比
对 $n=2$ 分别按定义式与张量积公式算出 $\mathrm{QFT}_4|01\rangle$ 的全部振幅，解释线路末端 SWAP 的原因
用 $P(k) = |\hat{a}_k|^2/N$ 与两道 $O(N)$ 代价解释读出/输入障碍，并写出相位梯度恒等式