第 10 课 · 相位估计 · 模块二：算法主线

本课知识点

内容（八张目标卡，2 行网格，动词全部落到"推导/计算"）：
1. 受控幂级联与相位回踢——能推导受控 $U$ 的相位回踢，并用二进制展开写出级联终态 $(1/\sqrt{N})\sum_z \omega^{\phi z}|z\rangle|u\rangle$
2. QFT 与 iQFT——能写出 $F_N$ 的矩阵元 $(1/\sqrt{N})\omega^{xy}$，用几何级数恒等式证明幺正性，并推出 iQFT $= F_N^*$
3. 相位读出与概率分析——能用 iQFT 逐项算出 $p_y$，证明 $\phi$ 为整数时必测得 $|\phi\rangle$，非整数时最近整数概率 $\ge 4/\pi^2$
4. 访问复杂度——能分两种实现模型计算受控调用次数，写成精度 $\varepsilon = 1/N$ 下的 $O(\log 1/\varepsilon)$ 或 $O(1/\varepsilon)$
5. 振幅放大的旋转图像——能写出 $G = U_S\cdot U_O$ 的旋转矩阵，推导 $\theta = 2\alpha$ 与迭代上界 $O(1/\sqrt{p})$
6. $G$ 的本征分解——能解出 $\lambda = e^{\pm i\theta}$ 与本征态 $(|g\rangle \pm i|b\rangle)/\sqrt{2}$，并用矩阵乘法验证本征方程
7. 振幅估计——能把 $|\psi\rangle$ 展开到本征态基，说明读数等概率落在 $\phi_1$、$\phi_2$ 附近，反解 $p = \sin^2(\theta/2)$
8. HHL 预告——能证明 $e^{iAt}$ 与 $A$ 共享本征态并写出本征值 $e^{i\lambda_i t}$，列出用相位估计实现 $A^{-1}b$ 的四步

类型objectives

讲义

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本课共八个目标，分四组。线路与读出（1–3）：推导相位回踢并写出级联终态 $(1/\sqrt{N})\sum_z \omega^{\phi z}|z\rangle|u\rangle$；用几何级数恒等式证明 QFT 幺正、推出 iQFT $= F_N^*$；逐项计算读出概率 $p_y$——整数情形必得 $|\phi\rangle$，非整数时最近整数概率 $\ge 4/\pi^2$。复杂度（4）：分两种实现模型计算受控调用次数，写成精度 $\varepsilon = 1/N$ 下的 $O(\log 1/\varepsilon)$ 或 $O(1/\varepsilon)$。振幅估计（5–7）：写出 $G = U_S\cdot U_O$ 的旋转矩阵与 $\theta = 2\alpha$，解出本征值 $e^{\pm i\theta}$ 与本征态，从双峰读数反解 $p = \sin^2(\theta/2)$。HHL 预告（8）：证明 $e^{iAt}$ 与 $A$ 共享本征态、本征值为 $e^{i\lambda_i t}$，并列出矩阵求逆的四步流程。