第 10 课 · 相位估计 · 模块二：算法主线
钩子：最值钱的信息，恰恰测不到
- 引子（一句）：计算基测量只返回基矢标签——幺正算符的身份信息全藏在一次也读不出的辐角里
- 命题框：谱定理 $\Rightarrow$ $U$ 可对角化；$U^\dagger U = I$ $\Rightarrow$ $|\lambda| = 1$，本征值全在复平面单位圆上
- 推导步骤：
- 设 $U|u\rangle = \lambda|u\rangle$，两边左乘 $\langle u|U^\dagger$：$\langle u|U^\dagger U|u\rangle = \lambda^*\lambda\cdot\langle u|u\rangle = |\lambda|^2\langle u|u\rangle$
- 代入 $U^\dagger U = I$：$|\lambda|^2\langle u|u\rangle = \langle u|u\rangle$，约去 $\langle u|u\rangle \ne 0$ → $|\lambda| = 1$
- 结论：$\lambda = e^{i\theta}$（$0 \le \theta < 2\pi$）——相位 $\theta$ 是唯一待读的量
- 任务框：$|u\rangle$ 已知作输入、$\theta$ 未知是猎物；取 $n$ 位计数寄存器（$N = 2^n$），定义 $\phi = N\theta/2\pi$，把本征值方程写成 $U|u\rangle = e^{2\pi i\phi/N}|u\rangle$——"角度"换成"刻度"
- 假设条：$\phi$ 为整数是理想化假设，非整数情形第 8 页用闭式补账
- 去向条：两个应用——量子计数（振幅估计，第 10–12 页）与 HHL 矩阵求逆（第 13 页）
类型hook + 推导（开场页，钩子只留一句引子）