应用 I：振幅放大是二维旋转

• 命题框：|ψ⟩ = √p·|g⟩ + √(1−p)·|b⟩；U_O = I − 2|good⟩⟨good|⊗I（基 {|g⟩,|b⟩} 下 = diag(−1, 1)）；U_S = 2|ψ⟩⟨ψ| − I
• 推导步骤：

1. U_S 作用（⟨ψ|g⟩ = √p）：U_S|g⟩ = 2√p·|ψ⟩ − |g⟩ = (2p−1)|g⟩ + 2√(p(1−p))·|b⟩

2. 矩阵相乘：G = U_S·U_O = [[1−2p, 2√(p(1−p))], [−2√(p(1−p)), 1−2p]]

3. 三角参数化：cos θ = 1−2p、sin θ = 2√(p(1−p))；验证 (1−2p)² + 4p(1−p) = 1 ✓

4. 参数化 p = sin²α（|ψ⟩ = sin α|g⟩ + cos α|b⟩）：倍角公式 cos θ = 1−2sin²α = cos 2α、sin θ = 2sin α cos α = sin 2α → θ = 2α

5. 迭代 Gⁿ|ψ⟩ = sin(α+nθ)|g⟩ + cos(α+nθ)|b⟩；解 α+nθ ≈ π/2 → n ≈ (π/2−α)/(2α) ≤ π/(4√p) = O(1/√p)

• 演算（p = 1/4）：α = arcsin(1/2) = π/6、θ = 2α = π/3；G = [[1/2, √3/2], [−√3/2, 1/2]]；n = (π/2−π/6)/(π/3) = 1 → 一次迭代后 sin(π/6+π/3) = sin(π/2) = 1：成功率 1/4 → 1
• 特例行：Grover 搜索是 p = 1/M 的特例 → n ≈ (π/4)√M；演算 M = 10⁶ → n ≈ 785 次（经典重复期望约 5×10⁵ 次）
• 结果框：G 是 {|g⟩,|b⟩} 平面上转角 θ = 2α 的旋转；不知道 p 就定不了 n——这正是量子计数要解的僵局