第 10 课 · 相位估计 · 模块二：算法主线

访问复杂度：两种模型两种答案

  • 命题框：访问复杂度 = 受控 $U^k$ 的调用次数（Hadamard 层与 iQFT 视为固定代价标准件）；$n$ 位寄存器分辨的最小相位差 $= 2\pi/N$ → 精度 $\varepsilon = 1/N$
  • 推导/演算步骤：
    1. 模型 1（c-$U^t$ 各有独立黑盒）：$n$ 个受控幂各调一次 → $O(\log N)$；$\varepsilon = 1/N$ → $O(\log 1/\varepsilon)$
    2. 模型 2（实现 c-$U^t$ = 重复 $t$ 次 c-$U$）：总调用 $\sum_{j=0}^{n-1} 2^j = 2^n - 1 = N - 1$ → $O(N) = O(1/\varepsilon)$
    3. 代入数字（目标 $\varepsilon \approx 10^{-3}$）：$n = 10$、$N = 1024$ → 模型 1 = 10 次，模型 2 = 1023 次——约 100 倍差距
  • 结果框：复杂度集中在受控 $U$ 幂上；同一算法、两种实现模型——对数 vs 线性，分辨率由 $N = 2^n$ 决定
类型definition-derivation + 演算对比