第 11 课 · Simon 算法与 Abel 隐藏子群——统一视角 · 模块二：算法主线

本课知识点（数学目标版）

内容（六张目标卡，前 3 张来自 Simon 篇、后 3 张来自 Abel HSP 篇，动词全部落到"推导/计算"）：
1. Simon 问题与经典下界——能写出承诺 $f(x)=f(y) \iff y = x\oplus s$，并由碰撞概率 $\approx k^2/2^n$ 推出经典 $\Theta(2^{n/2})$
2. 孪生态与 Hadamard 干涉——能逐行推导测量分布：$s\cdot z=1$ 概率 0、$s\cdot z=0$ 均匀 $1/2^{n-1}$
3. $\mathbb{F}_2$ 解方程与样本数——能对真实样本做 $\mathbb{F}_2$ 高斯消元，并算出成功率常数 $\prod(1-2^{-j}) \approx 0.2888$
4. HSP 统一框架与陪集态——能推导一次查询加输出测量得到 $|g+H\rangle$，并算出测量概率 $|H|/|G|$
5. 引理 1 与正交补——能用错位相消证明特征和两分性 $\sum\chi_y(h) = |H|$ 或 0，并推出 $P[y] = 1/|H^\perp|$ 均匀
6. 三个算法一家亲——能把 Simon、周期查找、离散对数代入通式，各自解出样本方程并核算复杂度

类型objectives

讲义

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六项目标全部落在推导与计算上，前三条属于 Simon 算法，后三条属于统一框架：

写出 Simon 承诺 $f(x)=f(y)\iff y=x\oplus s$，并由碰撞概率 $\approx k^2/2^n$ 推出经典 $\Theta(2^{n/2})$；
逐行推导孪生态的测量分布：$s\cdot z=1$ 概率 0，$s\cdot z=0$ 均匀 $1/2^{n-1}$；
对真实样本做 $\mathbb{F}_2$ 高斯消元，算出成功率常数 $\prod(1-2^{-j})\approx 0.2888$；
推导一次查询加输出测量得到陪集态 $|g+H\rangle$，并算出测量概率 $|H|/|G|$；
用错位相消证明特征和两分性 $\sum_{h\in H}\chi_y(h)=|H|$ 或 0，推出 $P[y]=1/|H^\perp|$ 均匀；
把 Simon、周期查找、离散对数代入通式，各自解出样本方程并核算复杂度。