第 11 课 · Simon 算法与 Abel 隐藏子群——统一视角 · 模块二：算法主线

钩子：三个问题，一个骨架

  • 引子（一句，页角小字）：异或、模幂、指数——三张面孔，同一副骨架
  • 命题框（大字）：$f(x)=f(y) \iff x-y \in H$——"函数值相同 $\iff$ 自变量相差隐藏子群元素"
  • 三张问题卡（各带群与子群，公式完整）：
    1. Simon：$f(x)=f(y) \iff y = x\oplus s$，求 $s$；$G = \mathbb{Z}_2^n$，$H = \{0,s\}$
    2. 周期查找：$f(x) = a^x \bmod N$，$f(x) = f(x+r)$，求 $r$（Shor 分解核心步骤）；$G = \mathbb{Z}$，$H = r\mathbb{Z}$
    3. 离散对数：$h = g^s$，求 $s$；$G = \mathbb{Z}_r^2$，$H = \langle(-s,1)\rangle$
  • 共用电路条：制备均匀叠加 → 一次 $U_f$ → 群 QFT $F_G$ → 测量——三个问题共用，只换 $G$ 与 $H$
类型hook（开场页，保留一句引子；主体为三组公式）