引理 1（特征和两分性）：$\sum_{h\in H}\chi_y(h)=|H|$（若 $\chi_y$ 在 $H$ 上恒为 1），否则为 0；正交补 $H^\perp=\{y:\chi_y(h)=1\ \forall h\in H\}$，且 $|H|\cdot|H^\perp|=|G|$。零情形用错位相消证明：取 $h_0$ 使 $\chi_y(h_0)\ne 1$，映射 $h\mapsto h+h_0$ 是 $H$ 上双射，故 $S=\sum_{h\in H}\chi_y(h)=\sum_{h\in H}\chi_y(h+h_0)=\chi_y(h_0)\cdot S$，由 $(1-\chi_y(h_0))\cdot S=0$ 得 $S=0$。用同态性 $\chi_y(g+h)=\chi_y(g)\cdot\chi_y(h)$ 把 $g$ 提出求和：
$$F_G|g+H\rangle=\frac{1}{\sqrt{|H|\cdot|G|}}\sum_y\chi_y(g)\left[\sum_{h\in H}\chi_y(h)\right]|y\rangle=\sqrt{\frac{|H|}{|G|}}\sum_{y\in H^\perp}\chi_y(g)|y\rangle,$$
即每个 $|y\rangle$ 的振幅分解为只依赖 $g$ 的相位乘只依赖 $H$ 的因子，引理 1 让后者在 $y\notin H^\perp$ 时归零。测量概率 $P[y]=\frac{|H|}{|G|}\cdot|\chi_y(g)|^2=\frac{1}{|H^\perp|}$——相位模为 1，在测量时消失，分布与陪集代表元 $g$ 无关，可反复独立运行。手算 $G=\mathbb{Z}_{12}$、$H=\{0,4,8\}$：$4y\equiv 0\pmod{12}$ 给 $H^\perp=\{0,3,6,9\}$，$|H^\perp|=4=12/3$；$y=1$ 时 $1+e^{2\pi i/3}+e^{4\pi i/3}=0$（三个三次单位根相消），$y=3$ 时三项全 1、和为 $3=|H|$；取 $g=1$，$\sqrt{3/12}=1/2$，$F_{12}|1+H\rangle=\frac{1}{2}(|0\rangle+e^{\pi i/2}|3\rangle+e^{\pi i}|6\rangle+e^{3\pi i/2}|9\rangle)$，测得 0、3、6、9 各 $1/4$。