特征与群上的 QFT

• 命题框：特征 χ_y(x) = e^(2πi·Σ_j x_j·y_j/N_j)；群 QFT：F_G|x⟩ = (1/√|G|)·Σ_y χ_y(x)·|y⟩，且 F_G = F_N₁⊗···⊗F_Nm
• 推导步骤：

1. 同态性：χ_y(x+x′) = e^(a+b) = e^a·e^b = χ_y(x)·χ_y(x′)（指数和拆开）；标签同态 χ_{y+y′}(x) = χ_y(x)·χ_{y′}(x) 同理

2. 张量分解：χ_y(x) = ∏_j e^(2πi·x_j·y_j/N_j) → 总相位 = 各分量相位之积 → F_G 逐分量实现

3. 演算（ℤ₁₂ 特征值，教材 §5.5）：χ_y(4) = e^(2πi·4y/12) = e^(2πiy/3)；代 y=1 → e^(2πi/3)（转 120°）；代 y=3 → e^(2πi·12/12) = 1（转整圈）

4. 回收 Simon：N_j = 2 → χ_y(x) = e^(πi·x·y) = (−1)^(x·y)，F_G = H⊗ⁿ——Simon 算法被统一框架完整吞下

• 结果框：QFT = 从计算基换到特征基；特征把群加法变成复数乘法——陪集态的谱将只落在 H⊥ 上（下一页证明）