第 11 课 · Simon 算法与 Abel 隐藏子群——统一视角 · 模块二：算法主线

特征与群上的 QFT

  • 命题框：特征 $\chi_y(x) = e^{2\pi i\cdot\sum_j x_j\cdot y_j/N_j}$；群 QFT：$F_G|x\rangle = (1/\sqrt{|G|})\cdot\sum_y \chi_y(x)\cdot|y\rangle$，且 $F_G = F_{N_1}\otimes\cdots\otimes F_{N_m}$
  • 推导步骤：
    1. 同态性：$\chi_y(x+x') = e^{a+b} = e^a\cdot e^b = \chi_y(x)\cdot\chi_y(x')$（指数和拆开）；标签同态 $\chi_{y+y'}(x) = \chi_y(x)\cdot\chi_{y'}(x)$ 同理
    2. 张量分解：$\chi_y(x) = \prod_j e^{2\pi i\cdot x_j\cdot y_j/N_j}$ → 总相位 = 各分量相位之积 → $F_G$ 逐分量实现
    3. 演算（$\mathbb{Z}_{12}$ 特征值，教材 §5.5）：$\chi_y(4) = e^{2\pi i\cdot 4y/12} = e^{2\pi iy/3}$；代 $y=1$ → $e^{2\pi i/3}$（转 $120^\circ$）；代 $y=3$ → $e^{2\pi i\cdot 12/12} = 1$（转整圈）
    4. 回收 Simon：$N_j = 2$ → $\chi_y(x) = e^{\pi i\cdot x\cdot y} = (-1)^{x\cdot y}$，$F_G = H^{\otimes n}$——Simon 算法被统一框架完整吞下
  • 结果框：QFT = 从计算基换到特征基；特征把群加法变成复数乘法——陪集态的谱将只落在 $H^\perp$ 上（下一页证明）
类型definition-derivation