| 算法 | 群 G | 隐藏子群 H | 样本约束 | 经典后处理 |
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| Simon | $\mathbb{Z}_2^n$ | $\{0,s\}$ | $y\cdot s \equiv 0 \pmod{2}$ | $\mathbb{F}_2$ 高斯消元 |
| 周期查找 | $\mathbb{Z}_Q$（$\mathbb{Z}$ 的截断，$Q \approx N^2 > r^2$） | $r\mathbb{Z}$（近似） | $\|k/Q - j/r\| \le 1/2Q$ | 连分数 |
| 离散对数 | $\mathbb{Z}_r^2$ | $\langle(-s,1)\rangle$ | $-su+v \equiv 0 \pmod{r}$ | 模 $r$ 求逆 / 联立同余 |
- 演算卡（离散对数，教材 §7.3：$g=3$ 为 mod 7 原根、$r=6$，幂表 $3^1=3, 3^2=2, 3^3=6, 3^4=4, 3^5=5, 3^6=1$；$h=5=3^5$ → $s=5$；样本满足 $v \equiv 5u \pmod{6}$）：
- $(u,v)=(1,5)$：$u=1$ 可逆 → $s = v\cdot u^{-1} = 5\cdot 1 = 5$，直接命中
- $(u,v)=(5,1)$：$5\cdot 5 = 25 \equiv 1 \pmod{6}$ → $u^{-1} = 5$ → $s = 1\cdot 5 = 5$ ✓
- $(u,v)=(2,4)$：$2s \equiv 4 \pmod{6}$，约去 $\gcd(2,6)=2$ → $s \equiv 2 \pmod{3}$ → $s \in \{2,5\}$——单样本不定解，与上联立得 5
- 边界卡（三条短行）：承诺放宽（近似周期 / 只看高位）→ 傅里叶峰带噪声底，需稳健性分析（Hales–Hallgren）；查询分离 $\ne$ 时间分离（需 oracle 高效相干实现，Shor 的模幂满足）；非 Abel HSP（图同构、格）多数仍开放