| 算法 | 群 G | 隐藏子群 H | 样本约束 | 经典后处理 |
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| Simon | ℤ₂ⁿ | {0,s} | y·s ≡ 0 (mod 2) | F₂ 高斯消元 |
| 周期查找 | ℤ_Q（ℤ 的截断，Q ≈ N² > r²） | rℤ（近似） | \|k/Q − j/r\| ≤ 1/2Q | 连分数 |
| 离散对数 | ℤ_r² | ⟨(−s,1)⟩ | −su+v ≡ 0 (mod r) | 模 r 求逆 / 联立同余 |
- 演算卡（离散对数，教材 §7.3：g=3 为 mod 7 原根、r=6，幂表 3¹=3, 3²=2, 3³=6, 3⁴=4, 3⁵=5, 3⁶=1；h=5=3⁵ → s=5；样本满足 v ≡ 5u (mod 6)）：
- (u,v)=(1,5)：u=1 可逆 → s = v·u⁻¹ = 5·1 = 5，直接命中
- (u,v)=(5,1)：5·5 = 25 ≡ 1 (mod 6) → u⁻¹ = 5 → s = 1·5 = 5 ✓
- (u,v)=(2,4)：2s ≡ 4 (mod 6)，约去 gcd(2,6)=2 → s ≡ 2 (mod 3) → s ∈ {2,5}——单样本不定解，与上联立得 5
- 边界卡（三条短行）：承诺放宽（近似周期 / 只看高位）→ 傅里叶峰带噪声底，需稳健性分析（Hales–Hallgren）；查询分离 ≠ 时间分离（需 oracle 高效相干实现，Shor 的模幂满足）；非 Abel HSP（图同构、格）多数仍开放