第 11 课 · Simon 算法与 Abel 隐藏子群——统一视角 · 模块二：算法主线

小结与作业（公式清单）

  • 本课公式清单（编号公式卡，一页收拢）：
    1. Simon 承诺：$f(x)=f(y) \iff y = x\oplus s$；经典生日下界 碰撞概率 $\approx k^2/2^n$ → $\Theta(2^{n/2})$
    2. 孪生态：$(1/\sqrt{2})\cdot(|x_u\rangle+|x_u\oplus s\rangle)$
    3. Hadamard 干涉分布：$P(z) = |1+(-1)^{s\cdot z}|^2/2^{n+1}$ → 0（$s\cdot z=1$）或 $1/2^{n-1}$（$s\cdot z=0$，均匀）
    4. 样本成功率：$\prod(1-2^{-j})$，$j = 1\ldots n-1$，$\approx 0.2888$（与 $n$ 无关的常数）
    5. HSP 承诺：$f(x)=f(y) \iff x-y \in H$
    6. 陪集态：$|g+H\rangle = (1/\sqrt{|H|})\cdot\sum_{h\in H}|g+h\rangle$，测得特定值概率 $|H|/|G|$
    7. 特征与群 QFT：$\chi_y(x) = e^{2\pi i\cdot\sum_j x_j\cdot y_j/N_j}$；$F_G = F_{N_1}\otimes\cdots\otimes F_{N_m}$；$\mathbb{Z}_2^n$ 上 $\chi_y(x) = (-1)^{x\cdot y}$、$F_G = H^{\otimes n}$
    8. Lemma 1：$\sum_{h\in H}\chi_y(h) = |H|$（$y\in H^\perp$）否则 0（错位相消）
    9. 最终分布：$P[y] = 1/|H^\perp|$ 均匀；$|H|\cdot|H^\perp| = |G|$
    10. 样本数与复杂度：$E \le 2\cdot\log_2|K|$（Lemma 2）→ 量子查询 $O(\log|G|)$ vs 经典 $\Theta(2^{n/2})$
  • 自查问题（三条折叠卡）：孪生态经 $H^{\otimes n}$ 后干涉因子 $[1+(-1)^{s\cdot z}]$ 怎么来？$H^\perp$ 上的均匀分布为何与陪集 $g$ 无关？三个算法的后处理分别是什么？
  • 作业卡（全部数值演算题，"特别推荐"琥珀标记）：
    • Simon 教材页 练习 4 第 1 题：$n=3$、$s=111$，算测得 $z=011$、$z=001$ 的概率（与第 6 页呼应）
    • Simon 教材页 练习 5 第 1 题：样本 $z=110$、$z=011$，高斯消元求 $s$（与第 7 页呼应）
    • Abel HSP 教材页 练习 5 第 1 题：$\mathbb{Z}_{12}$、$H=\langle 4\rangle$、$y=1$ 手算特征和（与第 11 页呼应）
    • 进阶：Abel HSP 教材页 练习 8 第 2 题：验证 $(u,v)=(3,3)$ 是合法样本吗，能否单独定 $s$
    • 思考：Simon 教材页 练习 7 第 2 题：把 $H^{\otimes n}$ 换成 $\mathrm{QFT}_N$ 重演推导（Shor 原型）
类型summary-homework（公式清单 + 作业）