第 14 课 · Shor 因数分解——从 RSA 的根基到量子指数加速 · 模块二：算法主线

本课知识点（数学目标版）

  • 内容（八张目标卡，动词全部落到"推导/计算"，逐条对应教材知识点）：
    1. 复杂度对比——能写出数域筛法亚指数复杂度，并演算 2048 位模数下 $(\log_2 N)^3 \approx 8.6\times 10^9$ 对试除 $\sqrt{N} \approx 10^{308}$ 的差距
    2. 求阶归约——能写出阶的定义（$a^r \equiv 1 \bmod N$）与从 $r$ 提取因子的两个条件
    3. 三步流程——能对 $N = 15$ 算出两寄存器规模（$n = 8$、$Q = 256$、第二寄存器 4 比特）并按序排出六拍量子流程
    4. 引理与失败概率——能复现引理 1 四步证明，并用 $r = \mathrm{lcm}(r_p, r_q)$ 推出单次失败概率 $\le 1/2$
    5. QFT 干涉——能推导几何级数振幅公式，得出峰位 $cQ/r$ 与单峰概率 $4/(\pi^2 r)$
    6. 连分数恢复——能用辗转相除展开 $j/Q$，按"验证—试小倍数—重跑"定阶（$j = 192$ → $r = 4$）
    7. 受控模乘——能算出 $N = 15$、$a = 7$ 的乘数序列 7, 4, 1 并解释 $r \mid 2^k$ 的循环条件
    8. 分解 $N = 15$ 全流程——能独立复演 $7^4 \equiv 1$ → $r = 4$ → 两次 gcd → $15 = 3\times 5$
类型objectives