第 14 课 · Shor 因数分解——从 RSA 的根基到量子指数加速 · 模块二：算法主线

一道拆不开的乘法题

  • 引子（一句）：乘起来毫秒、拆开来万年——RSA 把全部安全押在这道题上
  • 命题框（复杂度对比）：
    • 数域筛法（经典最好）：$O(\exp((64/9)^{1/3}\cdot(\log N)^{1/3}\cdot(\log\log N)^{2/3}))$——亚指数
    • Shor（量子）：$O((\log N)^3)$——多项式
  • 演算步骤（$N$ 为 2048 位 RSA 模数，$N \approx 2^{2048}$）：
    1. 暴力试除量级：$\sqrt{N} = 2^{1024} \approx 10^{308}$ 次运算（用 $2^{10} \approx 10^3$）
    2. Shor 量级：$(\log_2 N)^3 = 2048^3 \approx 8.6\times 10^9$ 次运算
    3. 差距：两者之比 $\approx 10^{298}$——同一道题，两种文明尺度的运算量
  • 结果框：亚指数按 $\exp((\log N)^{1/3})$ 爬升、多项式只按立方爬升——Shor 是指数级加速，理论上数小时内分解 2048 位整数
类型hook（开场钩子只此一页）+ 演算