题面：$N = 15$，随机选 $a = 7$，$\gcd(7, 15) = 1$，互素，进入量子部分。求阶逐项代入：$7^1 = 7$、$7^2 = 49 \equiv 4$、$7^3 = 343 \equiv 13$、$7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{15}$，回到 1，故 $r = 4$。条件检验：$r = 4$ 为偶数；$a^{r/2} = 7^2 \equiv 4 \not\equiv -1 \pmod{15}$（$-1$ 模 15 是 14），两关全过。提取因子：$\gcd(4-1, 15) = \gcd(3, 15) = 3$，$\gcd(4+1, 15) = \gcd(5, 15) = 5$，验证 $3\times 5 = 15$。复杂度盘点：模幂 $O((\log N)^3)$ 个量子门、QFT $O((\log N)^2)$、经典连分数 $O((\log N)^3)$，总体 $O((\log N)^3)$——相对数域筛法的亚指数复杂度，指数级加速白纸黑字。