电路：受控模乘

• 命题框：x = x₀ + 2x₁ + 4x₂ + ⋯；第 k 个受控门在控制比特为 1 时执行 |y⟩ ↦ |a^(2^k)·y mod N⟩
• 演算步骤（N = 15, a = 7）：

1. 乘数逐个算出：7^(2⁰) mod 15 = 7；7^(2¹) = 49 mod 15 = 4；7^(2²) = 7⁴ mod 15 = 1 → 乘数序列 7, 4, 1

2. 第三个门退化为恒等操作：r = 4 整除 2²，a^(2²) = a⁴ ≡ 1

3. 对比 a = 11（r = 2）：11^(2⁰) = 11；11^(2¹) = 121 ≡ 1 (mod 15) → 从第 2 个门起即恒等——r 越小，循环来得越早

• 结果框：a^(2^k) ≡ 1 ⟺ r ∣ 2^k——周期结构直接刻进电路；指数爬过周期，乘数开始循环