- 命题框：$x = x_0 + 2x_1 + 4x_2 + \cdots$；第 $k$ 个受控门在控制比特为 1 时执行 $|y\rangle \mapsto |a^{2^k}\cdot y \bmod N\rangle$
- 演算步骤（$N = 15, a = 7$）：
- 乘数逐个算出：$7^{2^0} \bmod 15 = 7$；$7^{2^1} = 49 \bmod 15 = 4$；$7^{2^2} = 7^4 \bmod 15 = 1$ → 乘数序列 7, 4, 1
- 第三个门退化为恒等操作：$r = 4$ 整除 $2^2$，$a^{2^2} = a^4 \equiv 1$
- 对比 $a = 11$（$r = 2$）：$11^{2^0} = 11$；$11^{2^1} = 121 \equiv 1 \pmod{15}$ → 从第 2 个门起即恒等——$r$ 越小，循环来得越早
- 结果框：$a^{2^k} \equiv 1 \iff r \mid 2^k$——周期结构直接刻进电路；指数爬过周期，乘数开始循环
类型worked-example（电路演算）