离散对数：定义、唯一性与复杂度

• 命题框：离散对数问题——给定素数 p、生成元 g 与 h ∈ Zₚ*，求 x 使 gˣ ≡ h (mod p)；g 的阶为 n = p−1，解在 mod n 意义下存在且唯一
• 推导/演算步骤：

1. 唯一性：gᵘ = gᵛ ⇔ u ≡ v (mod n)——g⁰, g¹, …, gⁿ⁻¹ 互不相同且铺满全群

2. 演算（p = 13、g = 2）：逐一计算 2¹,…,2¹² mod 13 = 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1 → 阶 = 12 = p−1 ✓；2⁷ = 128 = 9×13+11 ≡ 11，即 log₂11 = 7

3. 密码依赖（各一行式子）：Diffie–Hellman 公开 gᵃ、gᵇ → 共享 gᵃᵇ；DSA 签名验证依赖 DLP；ECC 依赖 ECDLP

4. 复杂度公式卡：经典数域筛 O(e^{(1.92+o(1))·(log p)^{1/3}·(log log p)^{2/3}})（亚指数，1.92 = (64/9)^{1/3}）；ECDLP 经典 Pollard rho O(√n)；量子 Shor O((log p)³)

• 结果框：经典亚指数 vs 量子多项式——DLP 是全部主流公钥密码（RSA/DH/DSA/ECC）的共同地基