成功概率、CRT 与 p = 13 实例

• 题面：p = 13、g = 2、h = 11、x = 7（隐藏）、n = 12；量子部分输出满足 7c ≡ d (mod 12) 的均匀随机对 (c,d)——求单次成功率与失败后的处理
• 演算步骤：

1. 成功率：φ(12)/12 = (1−1/2)(1−1/3) = (1/2)·(2/3) = 1/3；可逆的 c ∈ {1, 5, 7, 11}

2. 命中演算 (c,d) = (5,11)：5⁻¹ ≡ 5（5×5 = 25 ≡ 1 mod 12）→ x ≡ 5×11 = 55 ≡ 7 ✓；验证 2⁷ = 128 ≡ 11 (mod 13) ✓

3. 未命中演算 (c,d) = (2,2)：g₀ = gcd(2,12) = 2；由 n ∣ d−xc 与 g₀ ∣ n、g₀ ∣ c 可证 g₀ ∣ d → 同除得 x ≡ 1 (mod 6)，候选 {1, 7}，再测一次即定

4. 合并：多次测得 x 模各 n′ 的信息 → 中国剩余定理（CRT）拼回 x mod 12

• 结果框（大字）：一次命中概率 1/3；不可逆结果也榨出模 n′ 的信息——期望 O(1) 次测量恢复 x