格结构：对偶格的视角

• 命题框：Λ = span_Z{(n,0), (−x,1)}；测量结果集 {(c, xc mod n)} = 对偶格 Λ* = {(c,d) : ac+bd ≡ 0 (mod n), ∀(a,b) ∈ Λ}
• 推导步骤：

1. 验证基：代入 (n,0)：n+x·0 = n ≡ 0 ✓；代入 (−x,1)：−x+x·1 = 0 ✓

2. 覆盖性：m(n,0)+l(−x,1) = (mn−lx, l)，第二分量 l = b 取遍 Zₙ 并唯一确定 a → 不重不漏覆盖 Λ 的全部 n 个元素

3. 对偶条件只需对基检验：(n,0) 给 nc ≡ 0 自动成立；(−x,1) 给 −xc+d ≡ 0 ⇔ d ≡ xc——与第 6 页推导完全一致

4. 基向量 (−x,1) 里直接站着未知量 x：求出 Λ 的基即解出 DLP

• 结果框：QFT 采样得到的是对偶格元素——BV（线性结构）、Simon（异或周期）、求阶（一维周期）、离散对数（二维格）同属阿贝尔 HSP 框架