Lie–Trotter 极限 $e^{(A+B)t} = \lim_{r\to\infty}(e^{At/r}\cdot e^{Bt/r})^r$ 由 Trotter 于 1959 年证明，Lloyd 于 1996 年引入量子模拟；误差界本身是该极限的构造性证明。工程实现取步长 $\delta = t/r$，一阶电路 $S_1(t) = \bigl(\prod_{k=1}^{L} e^{-i\alpha_k H_k \delta}\bigr)^r$，误差为 $O(\Lambda_2 t^2/r) + O(\lambda^3 t^3/r^2)$，其中 $\Lambda_2 = \sum_{i<j}\|[H_i', H_j']\|$ 只对非零交换子求和，$\lambda = \sum_k |\alpha_k|$。泡利字符串上界 $\|[H_i', H_j']\| \le 2|\alpha_i\alpha_j|$ 给出 $\Lambda_2 \le \lambda^2 - \sum_k \alpha_k^2 \le \lambda^2$。演算 $L = 3$、$\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 1$：$\lambda = 3$，上界 $\Lambda_2 \le 3^2-3 = 6$；取 $H_1 = X$、$H_2 = Y$、$H_3 = Z$ 两两反对易，每个交换子范数为 2，$\Lambda_2 = 3\times 2 = 6$，等号成立。要精度 $\varepsilon$，取 $r \ge \Lambda_2 t^2/\varepsilon$：误差按 $1/r$ 衰减、按 $t^2$ 增长，只通过 $\Lambda_2$ 依赖 $H$；文献中 $O(s^2 t^2/r)$ 的 $s^2$ 即 $C(s,2)$ 个指标对数出的上界。