一阶 Trotter：切成小步

• 命题框：Lie–Trotter 极限 e^{(A+B)t} = lim_{r→∞} (e^{At/r}·e^{Bt/r})ʳ（Trotter 1959；Lloyd 1996 量子应用——误差界本身是该极限的构造性证明）
• 推导/演算步骤：

1. 电路：δ = t/r，S₁(t) = (Πₖ₌₁ᴸ e^{−iαₖHₖδ})ʳ——每步依次施加 L 个指数因子，共 r 步

2. 误差界：‖e^{−iHt} − S₁(t)‖ = O(Λ₂t²/r) + O(λ³t³/r²)；Λ₂ = Σ_{i<j} ‖[Hᵢ′,Hⱼ′]‖（只对非零交换子求和），λ = Σₖ |αₖ|

3. 泡利字符串上界：‖[Hᵢ′,Hⱼ′]‖ ≤ 2|αᵢαⱼ| → Λ₂ ≤ λ² − Σₖ αₖ² ≤ λ²

4. 演算（L = 3、α₁ = α₂ = α₃ = 1）：λ = 3 → 上界 Λ₂ ≤ 3²−3 = 6；取 H₁ = X、H₂ = Y、H₃ = Z 两两反对易、每个交换子范数 = 2 → Λ₂ = 3×2 = 6，等号成立 ✓

• 结果框：选步数 r ≥ Λ₂t²/ε；误差 1/r 衰减、t² 增长、只通过 Λ₂ 依赖 H——文献 O(s²t²/r) 的 s² 来自 C(s,2) 个指标对