第 15 课 · Shor 离散对数与 Trotter 哈密顿模拟 · 模块三：现代算法体系

小结、作业与预告

  • 本课公式清单（编号）：
    1. DLP：$g^x \equiv h \pmod{p}$，$n = p-1$，解在 $\mathrm{mod}\ n$ 意义下唯一
    2. 归约：$f(a,b) = g^{a+xb \bmod n}$；$\Lambda = \{(a,b) : a+xb \equiv 0 \pmod{n}\}$，等值集 = 陪集 $\Lambda+(r,0)$
    3. 测量分布：振幅非零 $\iff xc \equiv d \pmod{n}$；$(c,d)$ 均匀于 $\{(c, xc \bmod n)\}$，$P = 1/n$
    4. 后处理：$x \equiv c^{-1}d \pmod{n}$；不可逆时 $c'x \equiv d' \pmod{n'}$ + CRT 合并
    5. 模拟目标：$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$，$H = \sum_k \alpha_k H_k$
    6. 一阶：$S_1 = (\prod_k e^{-i\alpha_k H_k\delta})^r$，误差 $O(\Lambda_2 t^2/r)$，$\Lambda_2 \le \lambda^2$（$\lambda = \sum_k|\alpha_k|$）
    7. 二阶/Suzuki：$S_2$ 回文结构，误差 $O(\Lambda_3 t^3/r^2)$；$p_k = 1/(4-4^{1/(2k-1)})$，代价 $2L\cdot 5^{p-1}$
    8. 定理 1：$\lVert e^{-iHt} - S_1(t)\rVert \le (e^2/2)\cdot\Lambda_2 t^2/r + O(\lambda^3 t^3/r^2)$
    9. 选步数：一阶 $r \ge \Lambda_2 t^2/\varepsilon$；二阶 $r \ge \sqrt{\Lambda_3 t^3/\varepsilon}$
  • 自查问题（三条）：振幅为何恒给出 $xc \equiv d$？$\phi(n)/n$ 与 CRT 怎么把失败变成信息？回文结构为何消掉偶次误差项？
  • 作业卡：离散对数篇练习 1、6、7；Trotter 篇练习 1、5、8（重点：$p = 13$ 复演后处理、X/Z 不对易验证、Ising 链非零交换子计数——全部带数值演算）
  • 预告：第 16 课——块编码：SELECT/PREPARE 与三种构造（归一化常数 $\lambda = \sum_k|\alpha_k|$ 将成为主角，通往 QSP/QSVT 的第一步）
类型summary-homework-next（公式清单）