第 17 课 · 量子信号处理——多项式变换与相位因子 · 模块三：现代算法体系

小结与作业

  • 本课公式清单（编号，一页收拢）：
    1. $W(x) = [[x, i\sqrt{1-x^2}; i\sqrt{1-x^2}, x]] = e^{i\phi X}$（$x = \cos\phi$）
    2. $S(\phi) = e^{i\phi Z} = \mathrm{diag}(e^{i\phi}, e^{-i\phi})$
    3. $U_{QSP}(\Phi; x) = S(\Phi_0)\cdot\prod_{k=1}^{d} W(x)\cdot S(\Phi_k)$
    4. $U_{QSP} = [[P, i\sqrt{1-x^2}\cdot Q; i\sqrt{1-x^2}\cdot Q^*, P^*]]$，酉性 $\Leftrightarrow$ $|P|^2 + (1-x^2)|Q|^2 = 1$
    5. 可达四条件：$\deg P \le d$ 奇偶同 $d$；$|P| \le 1$；$|P(\pm 1)| = 1$；否则 QSVT
    6. $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$、$U_n(\cos\theta) = \sin((n+1)\theta)/\sin\theta$、递推 $f_{n+1} = 2x\cdot f_n - f_{n-1}$
    7. 全零相位：$W^d = [[T_d, i\sqrt{1-x^2}\cdot U_{d-1}; i\sqrt{1-x^2}\cdot U_{d-1}, T_d]]$
    8. 乘积公式 $M(P_1,Q_1)\cdot M(P_2,Q_2) = M(P_1P_2 - s^2\cdot Q_1Q_2^*, P_1Q_2 + Q_1P_2^*)$
    9. 剥层配平：$e^{2i\Phi_d} = p_d/q_{d-1}$
    10. 投影恒等式：$(\langle 0|^{\otimes m} \otimes I)\cdot\tilde{U}_\Phi\cdot(|0\rangle^{\otimes m} \otimes I) = P(A/\alpha) = \sum_j P(\sigma_j/\alpha)\cdot|u_j\rangle\langle v_j|$
    11. 次数界：Jackson $d = O(L/\varepsilon)$；Bernstein $\lVert f - P_d\rVert \le 2M\cdot\rho^{1-d}/(\rho-1)$；模拟 $d = O(\tau + \log(1/\varepsilon))$
    12. 复杂度账本：模拟 $O(\alpha t + \log(1/\varepsilon))$、求逆 $O(\kappa\cdot\log(\kappa/\varepsilon))$、Grover $O(\sqrt{N})$、总门数 $O(d\cdot(Ln + C_{\mathrm{PREP}}))$
    13. 数值侧：切比雪夫节点损失 $L(\Phi)$；确定性构造 $O(d)$ 层剥除、整体 $O(d^2)$；端点挤压相邻相位差 $O(\rho^{-d})$
  • 作业卡（真实题，题号与讲稿一致）：QSP 教材页练习 2 第 1、2 题（$x = 1/2$ 手算 $W$ 与酉性验证——与第 4 页演算呼应）；练习 3 第 3 题（端点条件必要性证明——与第 5 页呼应）；练习 8 第 2 题（$\tau = 100$、$\varepsilon = 10^{-4}$ 的次数估算——与第 10 页演算呼应，特别推荐）；相位因子教材页练习 3 第 3 题（$d = 1$、$P = x$ 手算剥层——与第 12 页演算呼应，特别推荐）；练习 5 第 2 题（pyqsp 上机验证——演示节点的完整复刻）
类型summary-homework（公式清单 + 作业）