端点挤压、工具链与端到端验证

命题框：W(±1) = ±I ⇒ W 的两条谱支在端点简并、间隙关闭；对 e^{−iτx} 类目标，最优相位序列的相邻相位差可小至 O(ρ^{−d}) ⇒ 相位的有效数字被指数级消耗
演算（谱隙定量）：W(x) 的特征相位为 ±θ（cos θ = x）⇒ 谱隙 = 2θ = 2·arccos x；演算 x = 1 − 10⁻⁴ ⇒ 2θ ≈ 2·√(2×10⁻⁴) ≈ 2.8×10⁻² rad，对照区间中部 x = 0 处谱隙 2·arccos 0 = π——端点间隙比中部小两个数量级
对策卡 ×3：① 端点专项检查——单独验证 x = ±1 及邻域（如 x = 1 − 10⁻⁴），别只看网格中段；② 超过双精度能力时换多精度算术（mpmath 提到 O(d) 位十进制），同一套算法立即恢复收敛——而非盲目加迭代；③ 对称化——偶/对称目标 Φₖ = Φ_{d−k}：参数减半、剥层成对、数值更稳；读文献相位表先确认是否已对称化
工具卡 ×3：QSPPACK（Dong & Lin，MATLAB）——确定性构造 + 优化法参考实现，附应用相位表；pyqsp（Python）——angle_sequence 一行求相位，约定与 QSPPACK 略异，混用先做端点对齐；Qualtran / pyLIQTR——相位求解 + 块编码组装 + 代价统计流水线
五步流程卡（sign 近似，κ = 10、ε = 10⁻³）：① minimax 理论估次 d ≈ κ·log(12/ε) ≈ 500 量级 → ② 生成切比雪夫系数形式的目标 P → ③ 优化法求 Φ（度数从 d/8 ≈ 62 递增）→ ④ 密网格（含 x = ±(1−10⁻⁴)）验证 ‖Re⟨0|U_QSP|0⟩ − P‖∞ ≤ 10⁻¹² → ⑤ 交给 QSVT 组装层
辨析行：第 ④ 步验证的是"相位正确"而非"多项式好"（后者由理论保证）；成本忽略不计，几秒抓住三类事故——约定错、奇偶错、挤压爆炸，请当作固定动作

标注：演示节点 1（现场用 pyqsp 对 κ = 10、ε = 10⁻³ 的 sign 近似求相位，并在含端点邻域的密网格上自验证，预期偏差上确界 ≤ 10⁻¹²）

类型definition-derivation（病态机理）+ tools-lab；含演示节点