- 命题框：$W(\pm 1) = \pm I$ $\Rightarrow$ $W$ 的两条谱支在端点简并、间隙关闭；对 $e^{-i\tau x}$ 类目标，最优相位序列的相邻相位差可小至 $O(\rho^{-d})$ $\Rightarrow$ 相位的有效数字被指数级消耗
- 演算（谱隙定量）：$W(x)$ 的特征相位为 $\pm\theta$（$\cos\theta = x$）$\Rightarrow$ 谱隙 $= 2\theta = 2\cdot\arccos x$；演算 $x = 1 - 10^{-4}$ $\Rightarrow$ $2\theta \approx 2\cdot\sqrt{2\times 10^{-4}} \approx 2.8\times 10^{-2}$ rad，对照区间中部 $x = 0$ 处谱隙 $2\cdot\arccos 0 = \pi$——端点间隙比中部小两个数量级
- 对策卡 $\times 3$：① 端点专项检查——单独验证 $x = \pm 1$ 及邻域（如 $x = 1 - 10^{-4}$），别只看网格中段；② 超过双精度能力时换多精度算术（mpmath 提到 $O(d)$ 位十进制），同一套算法立即恢复收敛——而非盲目加迭代；③ 对称化——偶/对称目标 $\Phi_k = \Phi_{d-k}$：参数减半、剥层成对、数值更稳；读文献相位表先确认是否已对称化
- 工具卡 $\times 3$：QSPPACK（Dong & Lin，MATLAB）——确定性构造 + 优化法参考实现，附应用相位表；pyqsp（Python）——angle_sequence 一行求相位，约定与 QSPPACK 略异，混用先做端点对齐；Qualtran / pyLIQTR——相位求解 + 块编码组装 + 代价统计流水线
- 五步流程卡（sign 近似，$\kappa = 10$、$\varepsilon = 10^{-3}$）：① minimax 理论估次 $d \approx \kappa\cdot\log(12/\varepsilon) \approx 500$ 量级 → ② 生成切比雪夫系数形式的目标 $P$ → ③ 优化法求 $\Phi$（度数从 $d/8 \approx 62$ 递增）→ ④ 密网格（含 $x = \pm(1-10^{-4})$）验证 $\lVert\mathrm{Re}\langle 0|U_{QSP}|0\rangle - P\rVert_\infty \le 10^{-12}$ → ⑤ 交给 QSVT 组装层
- 辨析行：第 ④ 步验证的是"相位正确"而非"多项式好"（后者由理论保证）；成本忽略不计，几秒抓住三类事故——约定错、奇偶错、挤压爆炸，请当作固定动作
- 标注：演示节点 1（现场用 pyqsp 对 $\kappa = 10$、$\varepsilon = 10^{-3}$ 的 sign 近似求相位，并在含端点邻域的密网格上自验证，预期偏差上确界 $\le 10^{-12}$）
类型definition-derivation（病态机理）+ tools-lab；含演示节点