第 18 课 · Qubitization 与 QSVT——把任意矩阵函数变成量子电路 · 模块三：现代算法体系

本课知识点（数学目标版）

内容（八张目标卡，动词全部落到"推导/计算/验证"，上半场 Qubitization 四条、下半场 QSVT 四条）：
1. 矩阵函数与酉化障碍——能对三类 $f(A)$ 逐个检验 $U^\dagger U = I$，并用范数指出非酉者的障碍
2. 量子行走算符——能推导共轭等价式 $\mathrm{PREP}^\dagger\cdot W\cdot\mathrm{PREP} = W'$，并数出 $W$ 与 $W'$ 各需的调用次数
3. 量子化定理——能沿"内积 → 勾股 → 换基"推出 $W|K_j = R_y(2\theta_j)$、特征值 $e^{\pm i\theta_j}$、$\cos\theta_j = E_j/\lambda$
4. 切比雪夫恒等式——能证明 $(\langle 0|^{\otimes m}\otimes I)\cdot W'^n\cdot(|0\rangle^{\otimes m}\otimes I) = T_n(A/\lambda)$ 并数值抽查 $T_2(0.6) = -0.28$
5. 投影酉算符与相位门——能由 $Z_\Pi = 2\Pi-I$ 推出 $e^{i\phi Z_\Pi} = e^{i\phi}\Pi + e^{-i\phi}(I-\Pi)$
6. QSVT 电路——能写出 $d$ 奇/偶两种电路与相位门选择规则，并计算代价 $O(d\cdot C_U)$
7. 主定理与相位平移——能陈述两个算符等式，验证 $M(\sigma) = -i\cdot S(\pi/4)\cdot W(\sigma)\cdot S(\pi/4)$ 与"两端 $\pi/4$、中间 $\pi/2$"平移
8. 应用与复杂度——能为求逆/模拟/搜索/Gibbs 选目标多项式并估算次数 $d$（如 $\kappa = 10^3$、$\varepsilon = 10^{-3}$）

类型objectives

讲义

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八个目标分上下两场。上半场 Qubitization：逐个检验矩阵函数 $f(A)$ 的酉性障碍；推导量子行走算符的共轭等价式 $\mathrm{PREP}^\dagger\cdot W\cdot\mathrm{PREP}=W'$；沿"内积、勾股、换基"证明 $W|_{K_j}=R_y(2\theta_j)$ 与 $\cos\theta_j=E_j/\lambda$；建立切比雪夫恒等式并数值抽查 $T_2(0.6)=-0.28$。下半场 QSVT：由 $Z_\Pi=2\Pi-I$ 推出 $e^{i\phi Z_\Pi}$ 的谱分解；写出 $d$ 奇/偶两种电路与代价 $O(d\cdot C_U)$；验证 $M(\sigma)=-i\cdot S(\pi/4)\cdot W(\sigma)\cdot S(\pi/4)$ 与"两端 $\pi/4$、中间 $\pi/2$"平移；为求逆、模拟、搜索、Gibbs 选目标多项式并估算次数 $d$。全课反复使用的动作只有一个：一个酉算符乘一个反射。