第 19 课 · 前沿应用——GQSP-QETU、LCHS 与薛定谔化 · 模块三：现代算法体系

小结与作业

  • 本课公式清单（编号）：
    1. $\langle 0|U_{QETU}|0\rangle = F(\cos(H/2))$——偶实 $F$、$d$ 次受控 $e^{-iH/2}$、单辅助比特
    2. $R(\theta,\phi,\lambda) = [e^{i(\lambda+\phi)}\cos\theta, e^{i\phi}\sin\theta; e^{i\lambda}\sin\theta, -\cos\theta]$，$R^\dagger R = I$
    3. GQSP：$(\prod_{j=1}^{d} R(\theta_j,\phi_j,0)\cdot W)\cdot R(\theta_0,\phi_0,\lambda)$ 左上块 $= P(W)$，约束 $|P(e^{i\vartheta})| \le 1$（无奇偶要求）
    4. LCU：$W|0\rangle|\psi\rangle = (1/\lambda)|0\rangle S|\psi\rangle + |\perp\rangle$；$P = \lVert S|\psi\rangle\rVert^2/\lambda^2$；放大 $O(\lambda)$ 轮
    5. $\hat{f}(k) = 1/(\pi(1+k^2))$；Poisson 核 $(1/\pi)\int e^{-ik\mu}/(1+k^2)dk = e^{-|\mu|}$
    6. LCHS：$T e^{-\int_0^t A} = \int dk/(\pi(1+k^2))\cdot T e^{-i\int_0^t (H+kL)}$，条件 $L \succeq 0$；移位 $u = e^{ct}v$、$c \ge -\min\lambda_{\min}(L)$
    7. $\lVert c\rVert_1 = 1+O(\varepsilon)$；$P \approx \lVert u(T)\rVert^2/\lVert u_0\rVert^2$；总查询 $\tilde{O}(\Gamma_p^{1+1/p}\cdot q^{2+2/p}\cdot T^{1+1/p}/\varepsilon^{1+2/p})$
    8. 薛定谔化：$i\partial_t v = (H_-\otimes I - H_+\otimes\hat{p})v$；回收 $v(t,p) = e^{-p}\cdot e^{-(H_++iH_-)t}u_0$（$p > 0$）；$P \approx \lVert u(T)\rVert^2/(2\lVert u_0\rVert^2)$
  • 自查问题（折叠卡）：QETU 的信号为何是 $\cos(H/2)$ / GQSP 用什么取代奇偶约束 / 正性条件为何必要、如何移位 / 两条非酉路线的核各装在哪里
  • 作业卡（教材真实题）：必做——《广义 QSP 与 QETU 详解》练习 3 第 1 题（逐行验证 $R^\dagger R = I$，呼应第 5 页）；《LCHS 算法详解》练习 4 第 1、2 题（复算傅里叶变换、留数法验证 Poisson 核，呼应第 9 页）；加练——《薛定谔化详解》练习 7 第 1 题（无衰减成功概率 1/2，呼应第 12 页）、《LCHS 算法详解》练习 6 第 3 题（成功概率只反映物理衰减）；挑战——《广义 QSP 与 QETU 详解》练习 2 第 2 题（QETU 滤波器草图）
类型summary-homework（公式清单 + 作业）