第 21 课 · HHL 与量子线性求解器——从相位估计到 QSVT 的五代演进 · 模块四：应用与前沿专题

本课知识点（数学目标版）

内容（六张目标卡，动词全部落到"推导/计算"）：
1. 复杂度对比——能写出高斯消元 $O(N^3)$、共轭梯度 $O(Ns\cdot\sqrt{\kappa}\cdot\log(1/\varepsilon))$ 与 HHL $O(\mathrm{poly}(\log N)\cdot\kappa\cdot\mathrm{poly}(1/\varepsilon))$，并代入 $N = 10^6$ 算出两边数字
2. HHL 五步流程——能逐步写出三个寄存器的量子态，并由 $\sin(\theta_j/2) = C/\lambda_j$ 算出受控旋转角
3. QPE 三层推导——能逐层推出 Hadamard 层、受控幂次层、逆 QFT 的态变换，并证明成功概率 $\ge 4/\pi^2 \approx 0.405$
4. 成功概率与后选择——能推导 $P_1 \ge 1/\kappa^2$，并算出置信度 $1-\delta$ 所需重复次数 $r = \lceil\kappa^2\cdot\ln(1/\delta)\rceil$
5. 数值实例全流程——能对 $2\times2$ 对角实例手算 QPE 相位、旋转角与 $P_1 = 5/8$，验证输出态 $\propto A^{-1}b$
6. 五代演进与瓶颈——能对每种方法写出 $\kappa$ 与 $\varepsilon$ 依赖公式（$\kappa^2$ → $\kappa$、$1/\varepsilon$ → $\log(1/\varepsilon)$），并用输入/输出复杂度判定优势能否兑现

类型objectives

讲义

第 2/15 页 · 本课知识点（数学目标版）

六个目标，动作全部落在推导与计算上：

复杂度对比：写出高斯消元 $O(N^3)$、共轭梯度 $O(Ns\cdot\sqrt{\kappa}\cdot\log(1/\varepsilon))$ 与 HHL $O(\mathrm{poly}(\log N)\cdot\kappa\cdot\mathrm{poly}(1/\varepsilon))$，并代入 $N = 10^6$ 算出两边数字；
HHL 五步流程：逐步写出三个寄存器的量子态，由 $\sin(\theta_j/2) = C/\lambda_j$ 算出受控旋转角；
QPE 三层推导：Hadamard 层、受控幂次层、逆 QFT，并证明成功概率 $\ge 4/\pi^2 \approx 0.405$；
成功概率与后选择：推导 $P_1 \ge 1/\kappa^2$，算出置信度 $1-\delta$ 所需重复次数 $r = \lceil\kappa^2\cdot\ln(1/\delta)\rceil$；
数值实例全流程：对 $2\times 2$ 对角实例手算 QPE 相位、旋转角与 $P_1 = 5/8$，验证输出态 $\propto A^{-1}b$；
五代演进与瓶颈：写出各方法的 $\kappa$ 与 $\varepsilon$ 依赖（从 $\kappa^2$ 到 $\kappa$、从 $1/\varepsilon$ 到 $\log(1/\varepsilon)$），并用输入/输出复杂度判定优势能否兑现。