- 引子一行：最小二乘回归、有限元、牛顿法每一步、投入产出模型——核心都是解 $Ax = b$
- 命题框（经典代价公式）：高斯消元 $O(N^3)$；稀疏共轭梯度 = 单次迭代 $O(Ns)$ $\times$ 迭代 $O(\sqrt{\kappa}\cdot\log(1/\varepsilon))$ 次，总 $O(Ns\cdot\sqrt{\kappa}\cdot\log(1/\varepsilon))$；HHL 承诺 $O(\mathrm{poly}(\log N)\cdot\kappa\cdot\mathrm{poly}(1/\varepsilon))$
- 演算步骤（代入 $N = 10^6$，$s$、$\kappa = O(1)$，精度固定）：
- 经典高斯消元：$N^3 = (10^6)^3 = 10^{18}$ 次操作
- 量子侧只需 $n = \log_2 N \approx 20$ 个比特 → HHL 门数 $\mathrm{poly}(20)$ 量级
- 三次多项式估计：$20^3 = 8\times10^3$ 门
- 差距：$10^{18} / 8\times10^3 \approx 10^{14}$ 倍
- 结果框：指数加速只体现在对 $N$ 的依赖上；$\kappa$ 与 $1/\varepsilon$ 被移进指数外的多项式因子——且解以 $|x\rangle$ 形式留在量子态里，不直接输出 $x$
类型definition-derivation（开场页，"账单"比喻只留标题一句）