- 命题框：$P_1 = \sum_j |\beta_j|^2\cdot C^2/\tilde{\lambda}_j^2$（各分支 $|u_j\rangle|\tilde{\lambda}_j\rangle$ 相互正交，概率直接相加）
- 推导步骤（逐行）：
- $\tilde{\lambda}_j \le \lambda_{\max} \Rightarrow C^2/\tilde{\lambda}_j^2 \ge C^2/\lambda_{\max}^2$
- 放缩：$P_1 \ge (C^2/\lambda_{\max}^2)\cdot\sum_j |\beta_j|^2 = C^2/\lambda_{\max}^2$（归一化 $\sum_j |\beta_j|^2 = 1$）
- 取 $C = \lambda_{\min}$：$P_1 \ge (\lambda_{\min}/\lambda_{\max})^2 = 1/\kappa^2$
- 独立重复 $r$ 次：P(至少一次成功) $= 1 - (1-P_1)^r \ge 1 - e^{-r\cdot P_1}$（用 $1 - x \le e^{-x}$）$\Rightarrow$ $r = \lceil\kappa^2\cdot\ln(1/\delta)\rceil$ 即达置信度 $1-\delta$
- 演算行：$\kappa = 10 \Rightarrow P_1 \ge 1/100 = 1\%$（病态矩阵吃掉加速）；$\delta = 5\% \Rightarrow r = 100 \times \ln 20 \approx 100 \times 3.0 = 300$ 次
- 结果框：朴素重复 $O(\kappa^2)$；振幅放大降至 $O(\kappa)$（代价：整个 HHL 电路须能相干反演执行）——对 $\kappa$ 的依赖始终是多项式级
类型definition-derivation + 演算