成功概率与后选择

• 命题框：P₁ = Σ_j |β_j|²·C²/λ̃_j²（各分支 |u_j⟩|λ̃_j⟩ 相互正交，概率直接相加）
• 推导步骤（逐行）：

1. λ̃_j ≤ λ_max ⇒ C²/λ̃_j² ≥ C²/λ_max²

2. 放缩：P₁ ≥ (C²/λ_max²)·Σ_j |β_j|² = C²/λ_max²（归一化 Σ_j |β_j|² = 1）

3. 取 C = λ_min：P₁ ≥ (λ_min/λ_max)² = 1/κ²

4. 独立重复 r 次：P(至少一次成功) = 1 − (1−P₁)^r ≥ 1 − e^{−r·P₁}（用 1 − x ≤ e^{−x}）⇒ r = ⌈κ²·ln(1/δ)⌉ 即达置信度 1−δ

• 演算行：κ = 10 ⇒ P₁ ≥ 1/100 = 1%（病态矩阵吃掉加速）；δ = 5% ⇒ r = 100 × ln 20 ≈ 100 × 3.0 = 300 次
• 结果框：朴素重复 O(κ²)；振幅放大降至 O(κ)（代价：整个 HHL 电路须能相干反演执行）——对 κ 的依赖始终是多项式级