- 命题框：总门数 = 单次运行门数 $\times$ 重复次数——每个因子都有出处
- 推导/因子步骤：
- 时钟比特 $m = O(\log(\kappa^2/\varepsilon))$——特征值须分辨到相对误差 $\varepsilon$
- 单次运行：QPE 总演化时间 $t\cdot2^m = O(\kappa/\varepsilon)$（取 $t = 2\pi/\lambda_{\max}$、$2^m = \kappa^2/\varepsilon$，用 $\lambda_{\max}/\lambda_{\min} = \kappa$）$\times$ 稀疏模拟单次代价 $\Rightarrow$ $\tilde{O}(s\cdot\kappa/\varepsilon)$（一阶乘积公式 $\tilde{O}(s^2\cdot\kappa/\varepsilon)$）
- 重复次数：$O(\kappa^2)$（后选择）或 $O(\kappa)$（振幅放大）
- 相乘：总门数 $\tilde{O}(s\cdot\kappa^3/\varepsilon)$，振幅放大后 $\tilde{O}(s\cdot\kappa^2/\varepsilon)$
- 模拟推导卡（两行）：切片恒等式 $e^{iAt} = (e^{iAt/2^p})^{2^p}$；Trotter 拆分 $A = \sum_k A_k$（1-稀疏，König 边染色），单步误差 $O(s^2\cdot\lVert A\rVert_{\max}^2\cdot\tau^2)$，$2^p$ 步累计 $O(s^2\cdot\lVert A\rVert_{\max}^2\cdot t^2/2^p)$ $\Rightarrow$ 需 $2^p = O(s^2\cdot\lVert A\rVert_{\max}^2\cdot t^2/\varepsilon)$；Berry 2015 截断泰勒级数把 $s^2$ 降到 $s$
- 演算行：$\kappa = 10$、$\varepsilon = 0.01 \Rightarrow 2^m = \kappa^2/\varepsilon = 10^4 \Rightarrow m = \log_2(10^4) \approx 14$ 比特；总演化时间 $t\cdot(2^m - 1) = O(\kappa/\varepsilon) = 10^3$
- 结果框：$N = 10^6$、$s = O(1)$、$\kappa = O(1)$ 时，经典 $O(10^{18})$ vs HHL $\mathrm{poly}(20) \approx 8\times10^3$ 门；文献常引原始 HHL 为 $O(s^2\kappa^2\cdot\mathrm{poly}(\log N)\cdot\mathrm{poly}(1/\varepsilon))$
类型definition-derivation（复杂度因子分解 + 模拟误差推导）