- 命题框：CKS（2017）不再逐特征值旋转，构造多项式 $P(x) \approx 1/x$（$\lambda_{\max}$ 归一化为 1，$x \in [1/\kappa, 1]$）
- 推导步骤（所需次数估计，逐行）：
- 代换 $y = (1-x)/(1+x)$，反解 $x = (1-y)/(1+y)$；$x \in [1/\kappa, 1] \Rightarrow y \in [0, y_{\max}]$，$y_{\max} = (\kappa-1)/(\kappa+1)$
- 恒等式：$1/x = (1+y)/(1-y) = (1+y)\cdot\sum_{j\ge0} y^{2j}$（末步用等比级数 $1/(1-y^2)$）
- 截断 $J$ 项误差 $\le 2\cdot y^{2J+2}/(1-y^2)$；在 $y_{\max}$ 处估计：$1 - y_{\max}^2 = 4\kappa/(\kappa+1)^2$，$y_{\max}^{2J} \le e^{-4J/(\kappa+1)}$
- 合并：截断误差 $\lesssim (\kappa/2)\cdot e^{-4J/(\kappa+1)} \Rightarrow J = O(\kappa\cdot\log(\kappa/\varepsilon))$
- 结果框（CKS）：总代价 $O(\kappa\cdot\log(\kappa/\varepsilon)\cdot C_{UA})$，稀疏存取下 $C_{UA} = O(s\cdot n)$；精度依赖 $1/\varepsilon$ → $\log(1/\varepsilon)$，无需后选择
- QSVT 卡（三步链 + 演算）：块编码 $\lVert A - \alpha\cdot(\langle 0^m|\otimes I)\cdot U_A\cdot(|0^m\rangle\otimes I)\rVert \le \varepsilon$（左上块为 $A/\alpha$）→ 量子行走 $\cos\theta_j = \sigma_j/\alpha$ → QSP 多项式 $P(\cos\theta) \approx c/x$；有效条件数 $\kappa' = \alpha/\sigma_{\min}$，次数 $d = O(\kappa'\cdot\log(\kappa'/\varepsilon))$；演算：$\alpha = 2\sigma_{\max}$、$\kappa = 10 \Rightarrow \kappa' = 2\sigma_{\max}/(\sigma_{\max}/10) = 20$，$d = O(20\cdot\log(20/\varepsilon))$——只差常数因子
- 三代对比表：$\kappa$ 依赖 $O(\kappa^2)$ → $O(\kappa)$ → $O(\kappa)$；精度 $O(1/\varepsilon)$ → $O(\log(1/\varepsilon))$ → $O(\log(1/\varepsilon))$；后选择 有 → 无 → 无；块编码 不需要 → 隐式 LCU → 显式框架
类型definition-derivation（次数推导）+ 三代对比表