- VQLS 卡（2020）：损失 $L(\theta) = 1 - |\langle b|A|x(\theta)\rangle|^2 / \langle x|A^\dagger A|x(\theta)\rangle$；一行证明：Cauchy–Schwarz 给 $|\langle b|A|x\rangle|^2 \le \langle x|A^\dagger A|x\rangle\cdot\langle b|b\rangle = \langle x|A^\dagger A|x\rangle \Rightarrow L \ge 0$，等号 $\Leftrightarrow$ $A|x\rangle$ 与 $|b\rangle$ 平行（即 $|x\rangle \propto A^{-1}|b\rangle$）；交叠靠 Hadamard 测试（$Z$ 期望 $= \mathrm{Re}\langle\psi|U|\psi\rangle$，$A$ 先做 LCU 分解 $A = \sum_l c_l\cdot U_l$）；无 QPE、电路浅，但无收敛保证、有贫瘠高原
- 薛定谔化卡（2022–2024）：显式解 $x(t) = x_{\mathrm{eq}} + e^{-At}(x(0) - x_{\mathrm{eq}})$（误差方程 $\dot{e} = -Ae$ 逐分量积分）；收敛由最慢模 $e^{-\lambda_{\min}\cdot t}$ 决定，需 $t = \Omega(\kappa\cdot\log(\kappa/\varepsilon))$；非酉嵌入的代价 $O(s\cdot n\cdot e^{\lVert A\rVert t})$——收敛要 $t$ 大、嵌入代价随 $t$ 指数涨，相互制约
- 梯度下降卡（2025）：迭代 $x_{k+1} = x_k - \eta(A^{\top}A\cdot x_k - A^{\top}b)$，误差递推 $e_{k+1} = (I - \eta\cdot A^{\top}A)\cdot e_k$；最优步长 $\eta = 2/(\sigma_{\min}^2 + \sigma_{\max}^2)$，最坏收缩因子 $(\kappa^2-1)/(\kappa^2+1)$；演算：$\kappa = 10 \Rightarrow 99/101 \approx 0.980$（每步只消 2%），压到 $\varepsilon = 0.01$ 需 $\ln(0.01)/\ln(99/101) \approx 230$ 步 $= O(\kappa^2\cdot\log(1/\varepsilon))$
- Kaczmarz / 绝热卡：投影 $x_{k+1} = x_k + ((b_i - \langle a_i, x_k\rangle)/\lVert a_i\rVert^2)\cdot a_i$，验证 $\langle a_i, x_{k+1}\rangle = b_i$ ✓；期望误差 $\mathbb{E}\lVert e_{k+1}\rVert^2 \le (1 - 1/\kappa_F^2)\cdot\lVert e_k\rVert^2$（$\kappa_F = \lVert A^{-1}\rVert\cdot\lVert A\rVert_F$，$\kappa \le \kappa_F \le \sqrt{Ns}\cdot\kappa$）；绝热编码 $H_P = A^\dagger(I - |b\rangle\langle b|)A$，一行验证：$H_P|x\rangle = 0 \Leftrightarrow A|x\rangle \propto |b\rangle \Leftrightarrow |x\rangle \propto A^{-1}b$
- 实验时间轴（一行）：2013 光量子 $2\times2$ → 2019 IBM 4 比特 HHL → 2021 超导 6 比特 VQLS → 2024 GPU 模拟 20+ 比特 QSVT
类型formula-card（四路线公式墙，各配一行证明思路）