NISQ 时代与更多路线
- VQLS 卡（2020）：损失 L(θ) = 1 − |⟨b|A|x(θ)⟩|² / ⟨x|A†A|x(θ)⟩；一行证明：Cauchy–Schwarz 给 |⟨b|A|x⟩|² ≤ ⟨x|A†A|x⟩·⟨b|b⟩ = ⟨x|A†A|x⟩ ⇒ L ≥ 0，等号 ⇔ A|x⟩ 与 |b⟩ 平行（即 |x⟩ ∝ A⁻¹|b⟩）；交叠靠 Hadamard 测试（Z 期望 = Re⟨ψ|U|ψ⟩，A 先做 LCU 分解 A = Σ_l c_l·U_l）；无 QPE、电路浅，但无收敛保证、有贫瘠高原
- 薛定谔化卡（2022–2024）：显式解 x(t) = x_eq + e^{−At}(x(0) − x_eq)（误差方程 ė = −Ae 逐分量积分）；收敛由最慢模 e^{−λ_min·t} 决定，需 t = Ω(κ·log(κ/ε))；非酉嵌入的代价 O(s·n·e^{‖A‖t})——收敛要 t 大、嵌入代价随 t 指数涨，相互制约
- 梯度下降卡（2025）：迭代 x_{k+1} = x_k − η(AᵀA·x_k − Aᵀb)，误差递推 e_{k+1} = (I − η·AᵀA)·e_k；最优步长 η = 2/(σ_min² + σ_max²)，最坏收缩因子 (κ²−1)/(κ²+1)；演算：κ = 10 ⇒ 99/101 ≈ 0.980（每步只消 2%），压到 ε = 0.01 需 ln(0.01)/ln(99/101) ≈ 230 步 = O(κ²·log(1/ε))
- Kaczmarz / 绝热卡：投影 x_{k+1} = x_k + ((b_i − ⟨a_i, x_k⟩)/‖a_i‖²)·a_i，验证 ⟨a_i, x_{k+1}⟩ = b_i ✓；期望误差 E‖e_{k+1}‖² ≤ (1 − 1/κ_F²)·‖e_k‖²（κ_F = ‖A⁻¹‖·‖A‖_F，κ ≤ κ_F ≤ √(Ns)·κ）；绝热编码 H_P = A†(I − |b⟩⟨b|)A，一行验证：H_P|x⟩ = 0 ⇔ A|x⟩ ∝ |b⟩ ⇔ |x⟩ ∝ A⁻¹b
- 实验时间轴（一行）：2013 光量子 2×2 → 2019 IBM 4 比特 HHL → 2021 超导 6 比特 VQLS → 2024 GPU 模拟 20+ 比特 QSVT
类型formula-card（四路线公式墙，各配一行证明思路）