第 22 课 · 量子 ODE/PDE 求解器——从哈密顿量模拟到 Schrödingerization · 模块四：应用与前沿专题

小结、作业与预告

  • 本课公式清单（编号，两栏排列）：
    1. 步数：$N_{\mathrm{step}} = O(T\cdot\varepsilon^{-1/p})$；二阶格式 $M = O(T/\sqrt{\varepsilon})$
    2. 常系数解：$u(t) = e^{At}\cdot u_0$；酉 $\Leftrightarrow$ $A = iH$（$H = H^\dagger$）
    3. Magnus：$\Omega = \int_0^t A + (1/2)\int_0^t ds\int_0^s [A(s),A(\tau)]\, d\tau + O(t^3)$
    4. Schrödingerization：$\mathcal{K} = H_R\otimes P - H_I\otimes I$；恢复 $e^\eta\cdot\Phi = e^{At}\cdot u_0$
    5. Duhamel：$u(t) = e^{At}\cdot u_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}b(s)\, ds$；常值右端加 $A^{-1}(e^{At}-I)\cdot b_0$
    6. 堆叠系统：$\rho = (1+ha/2)/(1-ha/2) \approx e^{ha}$；$\kappa(L) = \Theta(M)$（稳定）
    7. 历史态：$P(M) = \lVert u(T)\rVert^2/\sum_j\lVert u_j\rVert^2$
    8. Carleman：$d v_k/dt = k(a\cdot v_k + b\cdot v_{k+1} + c\cdot v_{k-1})$；$K = O(\log(1/\varepsilon)/\log(1/R))$
    9. 热方程：$\hat{u}_k(t) = e^{-\alpha k^2 t}\cdot\hat{u}_k(0)$（例 $e^{-0.4} \approx 0.67$）
    10. 波方程：$M = [[0,B],[-B,0]]$、$M^\dagger = -M$；能量 $\lVert Bu\rVert^2+\lVert v\rVert^2$ 守恒
    11. Poisson：$\lambda_k = (4/h^2)\cdot\sin^2(k\pi/(2(N+1)))$；$\kappa = O(N^2)$（$N = 9$：$\lambda_1 \approx 9.79$ vs $\pi^2 \approx 9.87$）
    12. 谱方法：$\hat{u}_k = \hat{g}_k/k^2$（$k \ne 0$）；QFT 链路无 $\kappa$
  • 作业卡（ODE 教材页尾）：练习 1 第 2 题（$u(T) = (3,4)$ 归一化与测量概率——呼应第 4 页）；练习 4 第 2 题（$A = -\gamma$ 的 Schrödingerization 核验——呼应第 8 页）；练习 7 第 3 题（截断阶数公式与重缩放——呼应第 11 页）
  • 作业卡（PDE 教材页尾）：练习 2 第 2 题（$2^{100}$ vs 100 量子比特——呼应第 3 页）；练习 5 第 1 题（衰减因子 $e^{-0.4} \approx 0.67$——呼应第 12 页）；练习 7 第 2 题（$N = 9$ 时 $\lambda_1$ 对比 $\pi^2$——呼应第 13 页）
  • 预告条：第 23 课——Gibbs 态制备与离散绝热定理
类型summary-homework（公式清单）