- 公式卡 1（傅里叶基本征值）：$\phi_k(x) = e^{ikx}/\sqrt{2\pi}$；$\langle\phi_j, \phi_k\rangle = \delta_{jk}$（$k \ne j$ 时积分给 $(e^{2\pi i(k-j)}-1)/(2\pi i(k-j)) = 0$）；$\phi_k'' = (ik)^2\cdot\phi_k = -k^2\cdot\phi_k$
- 公式卡 2（谱解）：热方程 $d \hat{u}_k/dt = -\alpha k^2\cdot\hat{u}_k$；Poisson $-\Delta u = g$ 逐项比对 → $k^2\cdot\hat{u}_k = \hat{g}_k$ → $\hat{u}_k = \hat{g}_k/k^2$（$k \ne 0$）
- 推导行（$k = 0$ 模式）：$0\cdot\hat{u}_0 = \hat{g}_0 \Leftrightarrow \int g = 0$（总电荷为零——相容性条件），此时 $\hat{u}_0$ 任意（解可差常数）
- QFT 链路卡：QFT（$O(n^2)$ 门）→ 对角预言机 $\mathrm{diag}(1/k^2)$ 或 $\mathrm{diag}(e^{-\alpha k^2 t})$ → 逆 QFT；整条链路不含 $\kappa$；代价：仅限周期边界、谱精度要求解光滑
- 演进时间线（青色节点 + 年份刻度）：2014 $O(\mathrm{poly}(n)\cdot T^2/\varepsilon)$ → 2020 高阶积分 $O(\mathrm{poly}(n)\cdot T^{1+o(1)})$ → 2022 Schrödingerization $O(\mathrm{poly}(n)\cdot T)$（打破 Hermitian 限制）→ 2023 LCHS $O(T\cdot\mathrm{polylog}(T/\varepsilon))$ + Carleman 进军非线性 → 2024 统一框架
- 结果框：量子优势明确（$d \ge 3$ 高维、长时间、多查询批量）vs 不明确（低维、强非线性、输出问题）
类型formula-card + 时间线