PDE III：谱方法与复杂度演进
- 公式卡 1（傅里叶基本征值）：φ_k(x) = e^{ikx}/√(2π)；⟨φ_j, φ_k⟩ = δ_jk（k ≠ j 时积分给 (e^{2πi(k−j)}−1)/(2πi(k−j)) = 0）；φ_k″ = (ik)²·φ_k = −k²·φ_k
- 公式卡 2（谱解）：热方程 d û_k/dt = −αk²·û_k；Poisson −Δu = g 逐项比对 → k²·û_k = ĝ_k → û_k = ĝ_k/k²（k ≠ 0）
- 推导行（k = 0 模式）：0·û₀ = ĝ₀ ⇔ ∫g = 0（总电荷为零——相容性条件），此时 û₀ 任意（解可差常数）
- QFT 链路卡：QFT（O(n²) 门）→ 对角预言机 diag(1/k²) 或 diag(e^{−αk²t}) → 逆 QFT；整条链路不含 κ；代价：仅限周期边界、谱精度要求解光滑
- 演进时间线（青色节点 + 年份刻度）：2014 O(poly(n)·T²/ε) → 2020 高阶积分 O(poly(n)·T^{1+o(1)}) → 2022 Schrödingerization O(poly(n)·T)（打破 Hermitian 限制）→ 2023 LCHS O(T·polylog(T/ε)) + Carleman 进军非线性 → 2024 统一框架
- 结果框：量子优势明确（d ≥ 3 高维、长时间、多查询批量）vs 不明确（低维、强非线性、输出问题）
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