1. Gibbs 态与制备难点——能写出 ρ_β = e^{−βH}/Z(β)，对 H = diag(0, Δ) 算出两个权重并验证低温极限
2. 虚时间滤波与 QSVT 复杂度——能推导衰减因子 e^{−2βΔ}，由 Bernstein 椭圆推出 d = O(β‖H‖ + log(1/ε)) 并代入数字算 d
3. 热场双态与量子 Metropolis——能用部分迹验证 tr_E|TFD⟩⟨TFD| = ρ_β、算出 tan θ = e^{−βΔ/2}，写出接受率与不动分布
4. 查询下界与选型——能解释 Ω(β) 的 Lieb–Robinson 来源，区分两种精度依赖并按任务选路线
5. 绝热定理——能写出 T ≥ max_s‖H′‖/(ε·Δ_min²) 并推导两个 1/Δ 因子的来源
6. Trotter 误差预算——能推导冻结与分裂两条引理，显式选出 T = 2‖H′‖/(εΔ_min²) 与步数 r
7. QSP 化、QAOA 与 VAQC——能比较三种离散化的调用次数与误差结构（Trotter T²/ε vs QSP τ + log(1/ε)）
8. 能隙标度与三算例——能用 Roland–Cerf 积分求局域绝热时间，核对 Δ_min = 2、r ≥ 6750、T = (π/2ε)√N 三个数值