第 23 课 · Gibbs 态与离散绝热——热平衡的量子制备与绝热演化的离散化 · 模块四：应用与前沿专题

小结、作业与预告

  • 本课公式清单（编号 12 条，两列排布）：
    1. $\rho_\beta = e^{-\beta H}/Z(\beta)$，$Z = \mathrm{tr}\, e^{-\beta H}$，$F = -\beta^{-1}\cdot\ln Z$
    2. 滤波衰减：激发/基态 $= e^{-2\beta\Delta}$
    3. 截断次数：$d = O(\beta\lVert H\rVert + \log(1/\varepsilon))$
    4. $|\mathrm{TFD}_\beta\rangle = (1/\sqrt{Z})\cdot\sum_E e^{-\beta E/2}|E\rangle_S|E\rangle_E$，$\mathrm{tr}_E = \rho_\beta$；$\tan\theta = e^{-\beta\Delta/2}$
    5. Metropolis：$A = \min(1, e^{-\beta(E'-E)})$，不动分布 $\rho_\beta$（免 $Z$）
    6. 下界 $\Omega(\beta)$；精度分层 polylog（态距离）vs $1/\varepsilon$（严格样本）
    7. $\langle m|\partial_s j\rangle = \langle m|H'|j\rangle/(E_j-E_m)$
    8. 绝热条件：$T \ge \max_s\lVert H'\rVert/(\varepsilon\cdot\Delta_{\min}^2)$
    9. 误差预算：$\varepsilon_{\mathrm{total}} \le \lVert H'\rVert/(T\Delta_{\min}^2) + T\lVert H'\rVert/2r + T^2\lVert[H_B,H_P]\rVert/4r$
    10. 选参：$T = 2\lVert H'\rVert/(\varepsilon\Delta_{\min}^2)$，$r = \lceil\max\{2\lVert H'\rVert^2/(\varepsilon^2\Delta_{\min}^2), 2\lVert H'\rVert^2\lVert[H_B,H_P]\rVert/(\varepsilon^3\Delta_{\min}^4)\}\rceil$
    11. Roland–Cerf：$T = (1/\varepsilon)\cdot\int_0^1|\langle 1|H'|0\rangle|/\Delta^2\, ds$
    12. 绝热搜索：$\Delta_{\min} = 1/\sqrt{N}$ → $T = (\pi/2\varepsilon)\cdot\sqrt{N}$（= Grover）；验证：$\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2 = \partial_\beta^2\ln Z$
  • 作业卡（Gibbs 教材页尾）：练习 1 第 2 题（$H = \mathrm{diag}(0,\Delta)$ 的 $Z$ 与权重、低温极限——与第 4 页演算同型）、练习 4 第 2 题（二能级 TFD 显式形式，$\tan\theta = e^{-\beta\Delta/2}$——第 7 页）、练习 8 第 2 题（证明 $\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2 = \partial_\beta^2\ln Z$）
  • 作业卡（离散绝热教材页尾）：练习 3 第 2 题（核对 $r \ge 375$ 与 6750——第 14 页算例 1）、练习 5 第 1 题（QAOA 参数对应绝热段——第 12 页）、练习 8 第 2 题（绝热搜索 $\Delta_{\min} = 1/\sqrt{N}$ 与 $T = O(\sqrt{N})$——第 14 页算例 3）
  • 预告条：第 24 课——不可克隆定理与量子密钥分发
类型summary-homework（公式清单 + 作业）