第 26 课 · QML I——数据编码、VQE 与 QAOA · 模块四：应用与前沿专题

本课知识点（数学目标版）

内容（七张目标卡，按三段分组配色：编码 / VQE / QAOA；动词全部落到"推导/计算"）：
1. 特征映射与四种编码——能写出 $U_\phi(x)|0\rangle^{\otimes n} = |\phi(x)\rangle$，并算出 $d = 16$ 时角度编码与振幅编码各自的比特数与深度
2. 线路即傅里叶级数——能由生成元谱 $\{+1, -1\}$ 推出 $\Omega \subseteq \{0, \pm 1\}$，并算出 $L$ 次重上传后的 $\Omega \subseteq \{0, \pm 1, \ldots, \pm L\}$
3. 容量计数与数据加载成本——能用 $O(\mathrm{poly})$ 对 $O(4^n)$ 的计数论证说明重上传的必要性，算出角度编码诱导的核 $k = \cos^2(\Delta/2)$
4. VQE 变分原理——能从谱分解逐行证明 $\langle\psi|H|\psi\rangle \ge E_0$，并推出保真度下界 $1 - |\langle E_0|\psi\rangle|^2 \le (\langle H\rangle - E_0)/(E_1 - E_0)$
5. 分子哈密顿量与拟设——能写出 JW 映射 $a^\dagger_j = (\prod_{k<j} Z_k) \otimes \sigma^+_j$ 与 $O(n^4)$ 泡利串分解，算出 LiH 冻结芯的 44 个参数
6. 参数平移与测量开销——能用两次电路求值算解析梯度（$E(\theta) = \cos\theta$ 例验证），推导 $m \ge \mathrm{Var}/\epsilon^2$ 与最优分配 $m_k \propto |\alpha_k|\sigma_k$
7. QAOA 编码与理论保证——能推导 $H_C = \sum(1 - Z_i Z_j)/2$、统计 $O(p(|E|+n))$ 门数，复述 3 正则图 $r_1 = 0.6924$ 定理与 $K_3$ 的 $r_1 = 1$ 闭式

类型objectives

讲义

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七个目标按编码、VQE、QAOA 三组排布，动词全部落到推导与计算。编码组要求写出 $U_\phi(x)|0\rangle^{\otimes n}=|\phi(x)\rangle$ 并算出 $d=16$ 时角度编码与振幅编码各自的比特数与深度，由生成元谱 $\{+1,-1\}$ 推出频带 $\Omega\subseteq\{0,\pm 1\}$ 及重上传 $L$ 次后的扩张，用 $O(\mathrm{poly})$ 对 $O(4^n)$ 的计数论证说明重上传的必要性并算出诱导核 $k=\cos^2(\Delta/2)$。VQE 组要求从谱分解逐行证明 $\langle\psi|H|\psi\rangle\ge E_0$ 并推出保真度下界，写出 JW 映射与 $O(n^4)$ 泡利串分解并数出 LiH 冻结芯的 44 个参数，用参数平移算解析梯度并推导 $m\ge\mathrm{Var}/\epsilon^2$ 与最优分配 $m_k\propto|\alpha_k|\sigma_k$。QAOA 组要求推导 $H_C=\sum(1-Z_iZ_j)/2$、统计 $O(p(|E|+n))$ 门数、复述 3 正则图 $r_1=0.6924$ 定理与 $K_3$ 的 $r_1=1$ 闭式。