第 26 课 · QML I——数据编码、VQE 与 QAOA · 模块四：应用与前沿专题

小结、作业与预告

  • 本课公式清单（编号）：
    1. $U_\phi(x)|0\rangle = |\phi(x)\rangle$；角度 $\bigotimes R_\sigma(x_i)$（$n = d$，$O(1)$）；振幅 $\sum x_j|j\rangle$（$\log_2 d$，$O(d)$）；重上传 $\prod[W_\ell(\theta)V_\ell(x)]$
    2. $f(x) = \sum_\omega c_\omega \cdot e^{i\omega \cdot x}$；$R_Z$ 单门 $\Omega \subseteq \{0, \pm 1\}$，$L$ 次重上传 $\Omega \subseteq \{0, \ldots, \pm L\}$
    3. $k(x,x') = |\langle 0|U_\phi^\dagger(x')U_\phi(x)|0\rangle|^2$；$R_Y$ 例 $k = \cos^2(\Delta/2)$
    4. $\langle H\rangle = \sum_j E_j|c_j|^2 \ge E_0$；$1 - |\langle E_0|\psi\rangle|^2 \le (\langle H\rangle - E_0)/(E_1 - E_0)$
    5. $H_{\mathrm{mol}}$ 二次量子化式；$a^\dagger_j = (\prod_{k<j} Z_k) \otimes \sigma^+_j$；$H = \sum \alpha_k \cdot P_k$，$L = O(n^4)$
    6. UCCSD 参数 $n_o \cdot n_v + C(n_o,2) \cdot C(n_v,2)$；HEA 高原 $\mathrm{Var}[\partial\langle H\rangle/\partial\theta] = O(2^{-n})$
    7. PSR：$\partial\langle H\rangle/\partial\theta = (1/2)[\langle H\rangle_+ - \langle H\rangle_-]$（移位 $\pm\pi/2$）；$m \ge \mathrm{Var}/\epsilon^2$；$m_k \propto |\alpha_k|\sigma_k$；总测量 $O(n^4/\epsilon^2)$
    8. $H_C = \sum(1 - Z_i Z_j)/2 = (|E|/2)I - (1/2)\sum Z_i Z_j$；$\mathrm{CNOT} \cdot R_z(\phi) \cdot \mathrm{CNOT} = e^{-i\phi Z_i Z_j/2}$；门数 $O(p(|E|+n))$
    9. $r_1 = 0.6924$（3 正则最坏）；绝热 Trotter 误差 $O(T^3/p^2)$ → $r_p$ → 1；$K_3$：$F = 30/16 + (3/4)c - (9/8)c^2$，$c = 1/3$ → $F_{\max} = 2$
  • 作业卡（真实题，优先数值演算）：
    • 数据编码教材页：练习 1 第 1 题（$d = 16$ 维下角度 vs 振幅编码的比特数与深度）、练习 2 第 1 题（$R_Z(x)$ 频带与重上传扩张）
    • VQE 教材页：练习 2 第 1 题（$E_0 = 0$、$E_1 = 1$、$E_2 = 3$ 试探态验证变分不等式与保真度下界）、练习 5 第 2 题（LiH 冻结芯参数个数）
    • QAOA 教材页：练习 6 第 1 题（$N = 8$ 样本手算 $Z_0 Z_1$ 关联估计与 $\hat{F}$）、练习 8 第 3 题（$K_3$ 闭式最大化）
    • 实操页：练习 5 第 2 题（两参数自定义拟设收敛到解析值 $\theta_0 = -\pi/2$）
  • 预告卡：第 27 课 QML II——量子核、混合网络与贫瘠高原（实操仍是 VQE 实验室的噪声实验）；第 29–30 课 Capstone 项目二选一（QPE→HHL 管线 / VQE 小分子）
类型summary-homework（公式清单 + 作业）