QPE 命题：$U|u\rangle = e^{2\pi i\phi/N}|u\rangle$（$N = 2^n$），$\phi$ 为整数时测计数寄存器必得 $|\phi\rangle$，否则测得最接近整数的概率 $\ge 4/\pi^2 \approx 0.405$。HHL 以 QPE 为引擎解线性方程组，管线四步：制备 $|b\rangle$（本例一个 H 门得 $(1/\sqrt{2})(|0\rangle + |1\rangle)$）；QPE 取 $U = e^{iAt}$，它与 $A$ 共享本征态，相位 $e^{i\lambda t}$ 把特征值 $\lambda$ 编码进计数寄存器；受控旋转由 $\sin(\theta/2) = C/\tilde{\lambda}$ 解出 $\theta(\tilde{\lambda}) = 2\arcsin(C/\tilde{\lambda})$，把 $1/\lambda$ 转移到辅助比特幅值；逆 QPE 复位后后选择，成功率 $P_1 \ge 1/\kappa^2$（$\kappa = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$）。
$2 \times 2$ 对角实例取 $A = \mathrm{diag}(1, 2)$、$b = (1, 1)^{\top}$、$m = 2$、$t = \pi/2$：相位 $\phi_0 = 1/4 = 0.01_2$、$\phi_1 = 1/2 = 0.10_2$（换算系数 $2\pi/(t \cdot 2^n) = 1$，寄存器整数即特征值）；旋转角 $\theta(1) = 2\arcsin(1) = \pi$、$\theta(2) = 2\arcsin(1/2) = \pi/3$；成功率 $P_1 = (1/2)\cdot 1^2 + (1/2)\cdot (1/2)^2 = 5/8 \ge 1/\kappa^2 = 1/4$（$\kappa = 2$）；输出态 $|x\rangle = (2|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt{5}$，即 $P(0) = 4/5$、$P(1) = 1/5$，振幅平方比 4:1 正比于 $A^{-1}b$。复杂度 $O(\mathrm{poly}(\log N) \cdot \kappa \cdot \mathrm{poly}(1/\epsilon))$，对比经典高斯消元 $O(N^3)$。工程工具锚点：CONTROL 块、circuit_def 子程序、get_matrix（little-endian 酉矩阵，约 12 比特以内对拍）。