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模块二：算法主线（第 8–14 课）

主信息：从第一个量子算法到 Shor——一条查询/门复杂度的主线
节点标注（7 节点路径，节点下挂复杂度小卡）：
- 8 DJ 与 BV：1 次查询 vs 经典 $n$ 次（BV）/ $2^{n-1}+1$ 次（DJ 确定性）
- 9 QFT：$n+n(n-1)/2+\lfloor n/2\rfloor=O(n^2)$ 门 vs 经典 FFT $O(N\log N)$，$N=2^n$
- 10 相位估计：精度 $\varepsilon=1/N$，单次读数成功率 $\ge 4/\pi^2$
- 11 Simon：量子 $O(n)$ vs 经典 $\Theta(2^{n/2})$（生日悖论 $k^2/2^n$）
- 12 Grover：$T\approx(\pi/4)\sqrt{N}$，$P\ge 1-1/N$；$N=10^6$ → 经典 $10^6$ 次 vs Grover $\approx 785$ 次
- 13 振幅放大与估计：$\theta=\arcsin\sqrt{p}$，迭代 $\approx\pi/(4\sqrt{p})$
- 14 Shor：$O((\log N)^3)$；$N=15$、$a=7$、$r=4$ → $\gcd(7^2-1,15)=3$、$\gcd(7^2+1,15)=5$

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讲义

第 5/11 页 · 模块二：算法主线（第 8–14 课）

本模块从第一个量子算法推进到 Shor，主线是查询次数与门复杂度的对比。

第 8 课 DJ 与 BV：量子 1 次查询；经典 Bernstein-Vazirani 需 $n$ 次，DJ 确定性判定需 $2^{n-1}+1$ 次
第 9 课 QFT：门数 $n+n(n-1)/2+\lfloor n/2\rfloor=O(n^2)$，对比经典 FFT 的 $O(N\log N)$，其中 $N=2^n$
第 10 课相位估计：精度 $\varepsilon=1/N$，单次读数成功率 $\ge 4/\pi^2$
第 11 课 Simon：量子 $O(n)$ 次查询对比经典 $\Theta(2^{n/2})$，经典下界源于生日悖论碰撞概率 $k^2/2^n$
第 12 课 Grover：$T\approx(\pi/4)\sqrt{N}$，成功率 $P\ge 1-1/N$；$N=10^6$ 时经典需 $10^6$ 次，Grover 约 785 次
第 13 课振幅放大与估计：$\theta=\arcsin\sqrt{p}$，迭代数约 $\pi/(4\sqrt{p})$
第 14 课 Shor：复杂度 $O((\log N)^3)$；实例 $N=15$、$a=7$、$r=4$ 给出 $\gcd(7^2-1,15)=3$ 与 $\gcd(7^2+1,15)=5$

查询复杂度在对数标尺上有 $1$、$\sqrt{N}$、$N$、$2^{n/2}$ 四档：量子结果落在 $\sqrt{N}$ 档，经典下界落在 $N$ 或 $2^{n/2}$ 档。