范数、归一化与正交：亲手验算

• 命题框：‖|ψ⟩‖ = √⟨ψ|ψ⟩；⟨ψ|ψ⟩ = αα + ββ = |α|² + |β|²（z*z = |z|² 恒为非负实数）
• 推导/演算（逐行）：

1. 解除第 3 页陷阱：|ψ⟩ = (1/√2, i/√2)ᵀ → ⟨ψ|ψ⟩ = |1/√2|² + |i/√2|² = 1/2 + 1/2 = 1 ✓（AMBER 结果）

2. 正交性验算（教材 §2.4）：⟨+|−⟩ = (1/2)(⟨0|+⟨1|)(|0⟩−|1⟩) = (1/2)(⟨0|0⟩ − ⟨0|1⟩ + ⟨1|0⟩ − ⟨1|1⟩) = (1/2)(1 − 0 + 0 − 1) = 0

3. 归一性验算：‖|+⟩‖² = (1/√2)² + (1/√2)² = 1/2 + 1/2 = 1——{|+⟩, |−⟩} 与 {|0⟩, |1⟩} 一样是标准正交基

• 结果框：合法量子态 ⟺ ⟨ψ|ψ⟩ = 1：|α|² + |β|² = 全部测量概率之和（玻恩规则）——归一化即概率总和为 100%