自己与自己做内积得范数平方：$\langle\psi|\psi\rangle = \alpha^*\alpha + \beta^*\beta = |\alpha|^2 + |\beta|^2$，其中恒等式 $z^*z = |z|^2$ 保证结果总是非负实数；范数定义为 $\lVert|\psi\rangle\rVert = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$。解除第 3 页的陷阱：$|\psi\rangle = (1/\sqrt{2},\, i/\sqrt{2})^{T}$ 满足 $\langle\psi|\psi\rangle = |1/\sqrt{2}|^2 + |i/\sqrt{2}|^2 = 1/2 + 1/2 = 1$，长度平方堂堂正正等于一。正交性验算：$\langle +|-\rangle = (1/2)(\langle 0|0\rangle - \langle 0|1\rangle + \langle 1|0\rangle - \langle 1|1\rangle) = (1/2)(1 - 0 + 0 - 1) = 0$；归一性验算 $\lVert|+\rangle\rVert^2 = (1/\sqrt{2})^2 + (1/\sqrt{2})^2 = 1$，故 $\{|+\rangle,\, |-\rangle\}$ 与 $\{|0\rangle,\, |1\rangle\}$ 一样是标准正交基。合法量子态即满足 $\langle\psi|\psi\rangle = 1$ 的态：按玻恩规则，$|\alpha|^2 + |\beta|^2$ 恰是全部测量概率之和，归一化即概率总和为 100%。