幺正变换：量子门的数学资格

• 命题框：U†U = UU† = I ⟹ U⁻¹ = U†（逆就是共轭转置）；演化 |ψ′⟩ = U|ψ⟩
• 推导/演算：

1. 定义读法：U 与 U† 相乘（无论先后）等于单位矩阵 ⟹ U 可逆，且逆不必另算——再取一次共轭转置即可

2. 资格检查演算（哈达玛门，教材 §5.1）：H = (1/√2)·[[1, 1], [1, −1]]；H 是实对称矩阵 → H† = Hᵀ = H

3. 矩阵元逐个乘出 H·H：对角元 (1/2)(1·1 + 1·1) = 1；非对角元 (1/2)(1·1 + 1·(−1)) = (1/2)(1 − 1) = 0 → H·H = I ✓，H 合法

• 结果框：量子门 ⟺ 幺正矩阵，演化必须可逆；"为什么恰好要求幺正"= 下一页两行证明（保范数 ⟺ 概率守恒）